Dominio funzione integrale

[nato_pigro1]

$f_alpha(x)=\int_-oo^xsqrt(t+1)/sqrt(|t|)*tg(pit/(t^2+1))*(1+cos(pi*t))^alpha$

determinare il dominio di $f_alpha(x)$ in funzione di $alpha$

E' solo lungo e noioso o ci sono delle scorciatoie furbe?

[gugo82]

La funzione non è ben definita.

Infatti il primo radicando è definito in $[-1,+oo[$, che non è un intorno di $-oo$; giacché l'insieme di definizione dell'integrando è contenuto in $[-1,+oo[$, è evidente che l'integrale improprio esteso ad un intervallo del tipo $]-oo,x[$ non ha senso per alcun $x \in RR$.

[nato_pigro1]

forse allora era $\int_0^x$

[fireball-votailprof]

"nato_pigro":forse allora era $\int_0^x$

secondo me è $int_(alpha)^x

[gugo82]

Guardando l'integrando si scopre che i punti che "danno fastidio" sono $0$ (evidente), quelli della famiglia $E:=\{ 2k+1\}_(k \in ZZ)$ (limitatamente al caso $alpha<0$) e $+oo$.
Quindi è probabile che il punto iniziale siano $0$ o $-1$.

In $0$ la funzione si prolunga per continuità (c'è quella tangente che ha uno zero d'ordine $1$ in $0$, mentre al denominatore c'è uno zero d'ordine $1/2$), quindi no problemo.
Nei punti della famiglia $E$ c'è quel $1+cos(pi x)$ che ha uno zero d'ordine $2$, cosicché $(1+cos(pi x))^alpha$ è uno zero d'ordine $2/alpha$ (per $alpha>0$) oppure un infinito d'ordine $2/|alpha|$ (se $alpha<0$); nel primo caso no problemo, nel secondo caso c'è sommabilità solo se $|alpha|>2$, quindi la funzione integrale è definita in $[0,pi[$ per $-2<=alpha<0$ o in $[0,+oo[$ per $alpha>0$ oppure $alpha<-2$.
In $+oo$ l'integrando è un infinitesimo di ordine $1$ per $alpha>=0$, quindi l'integrale non converge; se poi $alpha<-2$, l'integrando non è regolare in $+oo$ e l'integrale non può convergere.