Dominio funzione integrale
Salve, ho un dubbio su una domanda a risposta multipla:
"Su quale dei seguenti intervalli è integrabile, almeno in senso generalizzato, la funzione f definita da $ f(x)=1/(x^3-x) $ ?
a) $ [-1,1/2) $
b) $ (-1/2,1/2) $
c) $ (1/2,1) $
d) \( ( -3/4 ,\varepsilon ) \) , per ogni \( \varepsilon ∈ (-3/4,0) \) "
Ho escluso la a e la b in quanto l'integrale diverge in 0; la c e la d mi sembrano entrambe corrette, visto che i due punti in cui l'integrale generalizzato diverge (0 e 1, oltre a -1) sono esclusi dagli intervalli. Qual è quella giusta? Grazie
"Su quale dei seguenti intervalli è integrabile, almeno in senso generalizzato, la funzione f definita da $ f(x)=1/(x^3-x) $ ?
a) $ [-1,1/2) $
b) $ (-1/2,1/2) $
c) $ (1/2,1) $
d) \( ( -3/4 ,\varepsilon ) \) , per ogni \( \varepsilon ∈ (-3/4,0) \) "
Ho escluso la a e la b in quanto l'integrale diverge in 0; la c e la d mi sembrano entrambe corrette, visto che i due punti in cui l'integrale generalizzato diverge (0 e 1, oltre a -1) sono esclusi dagli intervalli. Qual è quella giusta? Grazie
Risposte
Ciao! Secondo me puoi risponderti da solo provando a calcolare l'integrale improprio
$$\int_{1/2}^{1} \frac{1}{x^3-x} \text{d}x$$
Usando la definizione.
$$\int_{1/2}^{1} \frac{1}{x^3-x} \text{d}x$$
Usando la definizione.
Ricevuto. Il dubbio che mi viene è riguardo la notazione: anche se l'intervallo è aperto si intende comunque che gli estremi di integrazione sono 1/2 e 1? Mentre se avesse chiesto il dominio, in $ (1/2,1) $ la funzione integrale è definita (anche se in $ 1^- $ tende a infinito)?
Per gli estremi di integrazione, non cambia niente se l'intervallo è aperto o chiuso perché non cambia il valore dell'integrale. Si dimostra che, se si cambia il valore di una funzione $g$ in un numero finito di punti (se non ricordo male, addirittura se l'insieme dei valori per i quali si ridefinisce $g$ è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue), non cambia il valore del suo integrale. Quindi puoi tranquillamente porre
$$\tilde{g}(x)=\begin{cases} g(x), \ \text{se} \ x \in \left(\frac{1}{2},1\right) \\ 632578, \ \text{se} \ x=\frac{1}{2} \\ -525823890, \ \text{se} \ x=1 \end{cases}$$
O qualsiasi altri numeri brutti vuoi, e risulta
$$\int_{\left[\frac{1}{2},1\right]} \tilde{g}(x) \text{d}x =\int_{\left(\frac{1}{2},1\right)} \tilde{g}(x) \text{d}x=\int_{1/2}^1 \tilde{g}(x) \text{d}x= \int_{1/2}^1 g(x) \text{d}x$$
Il problema non è tanto il fatto che la funzione $\frac{1}{x^3-x}$ è illimitata in un intorno sinistro di $1$, quanto più il fatto che il suo integrale nell'intervallo $\left(\frac{1}{2},1\right)$ diverge (per $x \to 1^-$); quindi no, non è definita in un intorno sinistro di $1$. Mentre, per ogni $\frac{1}{2} \le a <1$ fissato, è definita in ogni intervallo $\left(\frac{1}{2},a\right)$, o anche $\left(\frac{1}{2},a\right]$ e questo è proprio ciò che succede nella risposta (d) del tuo messaggio iniziale.
Ad esempio, anche la funzione $\frac{1}{\sqrt{x}}$ nell'intervallo $(0,1)$ è illimitata in un intorno destro di $0$, tuttavia si ha
$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \text{d}x=\lim_{t \to 0^+} \int_t^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \text{d}x=\lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1=\lim_{t \to 0^+} (2-2\sqrt{t})=2$$
Converge, quindi l'integrale è ben posto in $(0,1)$.
$$\tilde{g}(x)=\begin{cases} g(x), \ \text{se} \ x \in \left(\frac{1}{2},1\right) \\ 632578, \ \text{se} \ x=\frac{1}{2} \\ -525823890, \ \text{se} \ x=1 \end{cases}$$
O qualsiasi altri numeri brutti vuoi, e risulta
$$\int_{\left[\frac{1}{2},1\right]} \tilde{g}(x) \text{d}x =\int_{\left(\frac{1}{2},1\right)} \tilde{g}(x) \text{d}x=\int_{1/2}^1 \tilde{g}(x) \text{d}x= \int_{1/2}^1 g(x) \text{d}x$$
Il problema non è tanto il fatto che la funzione $\frac{1}{x^3-x}$ è illimitata in un intorno sinistro di $1$, quanto più il fatto che il suo integrale nell'intervallo $\left(\frac{1}{2},1\right)$ diverge (per $x \to 1^-$); quindi no, non è definita in un intorno sinistro di $1$. Mentre, per ogni $\frac{1}{2} \le a <1$ fissato, è definita in ogni intervallo $\left(\frac{1}{2},a\right)$, o anche $\left(\frac{1}{2},a\right]$ e questo è proprio ciò che succede nella risposta (d) del tuo messaggio iniziale.
Ad esempio, anche la funzione $\frac{1}{\sqrt{x}}$ nell'intervallo $(0,1)$ è illimitata in un intorno destro di $0$, tuttavia si ha
$$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \text{d}x=\lim_{t \to 0^+} \int_t^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \text{d}x=\lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1=\lim_{t \to 0^+} (2-2\sqrt{t})=2$$
Converge, quindi l'integrale è ben posto in $(0,1)$.
Ho capito, grazie mille. Per quanto riguarda la seconda domanda che avevo posto, mi spiego meglio. Supponiamo che la richiesta fosse stata: determina il dominio della funzione $ F(x) = int_(1/2)^(x) 1/(t^3-t) dt $
In questo caso, la risposta si scriverebbe come $ D: (0, 1) $ ?
In questo caso, la risposta si scriverebbe come $ D: (0, 1) $ ?
Prego! Ok, infatti prima volevo chiederti cosa intendevi con funzione integrale perché non ne vedevo nessuna. Ora torna tutto. Sì, esatto, il dominio in tal caso è $D_F=(0,1)$.
Mea culpa. Perfetto, grazie ancora!
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