Dominio funzione arcoseno

alemar05
Buonasera, qualcuno potrebbe spiegarmi come ricavare il dominio della seguente funzione?
$ f(x)=arcsin(|x-1|/(1+|x|)) $
Dovrei porre $ -1<|x-1|/(1+|x|)<1 $
A confondermi sono i moduli. Come dovrei "trattarli" nello studio del dominio?

Risposte
M.C.D.1
"alemar05":
Buonasera, qualcuno potrebbe spiegarmi come ricavare il dominio della seguente funzione?
$ f(x)=arcsin(|x-1|/(1+|x|)) $
Dovrei porre $ -1<|x-1|/(1+|x|)<1 $
A confondermi sono i moduli. Come dovrei "trattarli" nello studio del dominio?


Questa: $ -1<=|x-1|/(1+|x|)<=1 $

Può essere riscritta in modo equivalente come un sistema:

$ { ( |x-1|/(1+|x|)<= 1 ),(|x-1|/(1+|x|)>= -1 ):} $

Adesso devi svolgere le due disequazioni con i valori assoluti separatamente :)
Tuttavia non buttarti immediatamente a fare calcoli, osserva bene le due disequazioni :)
E tieni anche presente che oltre al campo di esistenza dell'arcoseno, va considerato anche quello dell suo argomento (che in questo esercizio è una frazione, e quindi dovrei richiedere che non si annulli il denominatore, ma in questo caso...)

alemar05
Il mio dubbio sta proprio nelle singole disequazioni. Io so che l'argomento diventa
$ (1-x)/(1+x) $ se $ 0 $ (x-1)/(1+x) $ se $ x>1 $
$ (1-x)/(1-x)=1 $ se $ x<0 $
Quindi dovrei studiare quattro disequazioni (due per ciascuna)? Tralasciando la terza che è costante
Naturalmente il denominatore non crea alcun tipo di problema poiché non si annulla mai

M.C.D.1
"alemar05":
Il mio dubbio sta proprio nelle singole disequazioni. Io so che l'argomento diventa
$ (1-x)/(1+x) $ se $ 0 $ (x-1)/(1+x) $ se $ x>1 $
$ (1-x)/(1-x)=1 $ se $ x<0 $
Quindi dovrei studiare quattro disequazioni (due per ciascuna)? Tralasciando la terza che è costante
Naturalmente il denominatore non crea alcun tipo di problema poiché non si annulla mai


Certo se ti butti subito nel conto dovrai risolvere tutte le disequazioni :)
Tuttavia io osserverei che:

$|x-1|/(1+|x|)>= -1$ è sempre verificata in quanto al primo membro ho un rapporto di quantità sempre positive.

equivalentemente

$|x-1|/(1+|x|) <=1$ è sempre verificata in quanto la quantità al numeratore è sempre minore ( o al più uguale) della quantità al denominatore (e sono entrambe sempre positive).

In maniera formale potresti procedere cosi:

$(|x-1|)/(1+|x|) <= (|x| + |-1|)/(1+|x|) = (|x|+1)/(1+|x|) = 1$

Quindi il campo di esistenza sarà tutto $\mathbb{R}$

alemar05
"M.C.D.":
[quote="alemar05"]Il mio dubbio sta proprio nelle singole disequazioni. Io so che l'argomento diventa
$ (1-x)/(1+x) $ se $ 0 $ (x-1)/(1+x) $ se $ x>1 $
$ (1-x)/(1-x)=1 $ se $ x<0 $
Quindi dovrei studiare quattro disequazioni (due per ciascuna)? Tralasciando la terza che è costante
Naturalmente il denominatore non crea alcun tipo di problema poiché non si annulla mai


Certo se ti butti subito nel conto dovrai risolvere tutte le disequazioni :)
Tuttavia io osserverei che:

$|x-1|/(1+|x|)>= -1$ è sempre verificata in quanto al primo membro ho un rapporto di quantità sempre positive.

equivalentemente

$|x-1|/(1+|x|) <=1$ è sempre verificata in quanto la quantità al numeratore è sempre minore ( o al più uguale) della quantità al denominatore (e sono entrambe sempre positive).

In maniera formale potresti procedere cosi:

$(|x-1|)/(1+|x|) <= (|x| + |-1|)/(1+|x|) = (|x|+1)/(1+|x|) = 1$

Quindi il campo di esistenza sarà tutto $\mathbb{R}$[/quote]
Grazie mille, più chiari di così si muore :D

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