Dominio funzione arcoseno
Buonasera, qualcuno potrebbe spiegarmi come ricavare il dominio della seguente funzione?
$ f(x)=arcsin(|x-1|/(1+|x|)) $
Dovrei porre $ -1<|x-1|/(1+|x|)<1 $
A confondermi sono i moduli. Come dovrei "trattarli" nello studio del dominio?
$ f(x)=arcsin(|x-1|/(1+|x|)) $
Dovrei porre $ -1<|x-1|/(1+|x|)<1 $
A confondermi sono i moduli. Come dovrei "trattarli" nello studio del dominio?
Risposte
"alemar05":
Buonasera, qualcuno potrebbe spiegarmi come ricavare il dominio della seguente funzione?
$ f(x)=arcsin(|x-1|/(1+|x|)) $
Dovrei porre $ -1<|x-1|/(1+|x|)<1 $
A confondermi sono i moduli. Come dovrei "trattarli" nello studio del dominio?
Questa: $ -1<=|x-1|/(1+|x|)<=1 $
Può essere riscritta in modo equivalente come un sistema:
$ { ( |x-1|/(1+|x|)<= 1 ),(|x-1|/(1+|x|)>= -1 ):} $
Adesso devi svolgere le due disequazioni con i valori assoluti separatamente

Tuttavia non buttarti immediatamente a fare calcoli, osserva bene le due disequazioni

E tieni anche presente che oltre al campo di esistenza dell'arcoseno, va considerato anche quello dell suo argomento (che in questo esercizio è una frazione, e quindi dovrei richiedere che non si annulli il denominatore, ma in questo caso...)
Il mio dubbio sta proprio nelle singole disequazioni. Io so che l'argomento diventa
$ (1-x)/(1+x) $ se $ 0
$ (x-1)/(1+x) $ se $ x>1 $
$ (1-x)/(1-x)=1 $ se $ x<0 $
Quindi dovrei studiare quattro disequazioni (due per ciascuna)? Tralasciando la terza che è costante
Naturalmente il denominatore non crea alcun tipo di problema poiché non si annulla mai
$ (1-x)/(1+x) $ se $ 0
$ (1-x)/(1-x)=1 $ se $ x<0 $
Quindi dovrei studiare quattro disequazioni (due per ciascuna)? Tralasciando la terza che è costante
Naturalmente il denominatore non crea alcun tipo di problema poiché non si annulla mai
"alemar05":
Il mio dubbio sta proprio nelle singole disequazioni. Io so che l'argomento diventa
$ (1-x)/(1+x) $ se $ 0$ (x-1)/(1+x) $ se $ x>1 $
$ (1-x)/(1-x)=1 $ se $ x<0 $
Quindi dovrei studiare quattro disequazioni (due per ciascuna)? Tralasciando la terza che è costante
Naturalmente il denominatore non crea alcun tipo di problema poiché non si annulla mai
Certo se ti butti subito nel conto dovrai risolvere tutte le disequazioni

Tuttavia io osserverei che:
$|x-1|/(1+|x|)>= -1$ è sempre verificata in quanto al primo membro ho un rapporto di quantità sempre positive.
equivalentemente
$|x-1|/(1+|x|) <=1$ è sempre verificata in quanto la quantità al numeratore è sempre minore ( o al più uguale) della quantità al denominatore (e sono entrambe sempre positive).
In maniera formale potresti procedere cosi:
$(|x-1|)/(1+|x|) <= (|x| + |-1|)/(1+|x|) = (|x|+1)/(1+|x|) = 1$
Quindi il campo di esistenza sarà tutto $\mathbb{R}$
"M.C.D.":
[quote="alemar05"]Il mio dubbio sta proprio nelle singole disequazioni. Io so che l'argomento diventa
$ (1-x)/(1+x) $ se $ 0$ (x-1)/(1+x) $ se $ x>1 $
$ (1-x)/(1-x)=1 $ se $ x<0 $
Quindi dovrei studiare quattro disequazioni (due per ciascuna)? Tralasciando la terza che è costante
Naturalmente il denominatore non crea alcun tipo di problema poiché non si annulla mai
Certo se ti butti subito nel conto dovrai risolvere tutte le disequazioni

Tuttavia io osserverei che:
$|x-1|/(1+|x|)>= -1$ è sempre verificata in quanto al primo membro ho un rapporto di quantità sempre positive.
equivalentemente
$|x-1|/(1+|x|) <=1$ è sempre verificata in quanto la quantità al numeratore è sempre minore ( o al più uguale) della quantità al denominatore (e sono entrambe sempre positive).
In maniera formale potresti procedere cosi:
$(|x-1|)/(1+|x|) <= (|x| + |-1|)/(1+|x|) = (|x|+1)/(1+|x|) = 1$
Quindi il campo di esistenza sarà tutto $\mathbb{R}$[/quote]
Grazie mille, più chiari di così si muore
