Dominio funzione a più variabili
Buonasera a tutti, sto svolgendo questo esercizio
a. Data la funzione \(\displaystyle f(x,y)=\frac{\sqrt{x^2+\frac{y^2}{9}-1}}{\sqrt{4-x^2-y^2}} \) determinare l'insieme di de finizione D, rappresentarlo grafi camente e dire se esso è aperto, chiuso, limitato.
b. Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi della seguente
funzione: \(\displaystyle g(x,y)=arctan(x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3) \)
Per quanto riguarda il punto a) ho così impostato il calcolo del dominio
\(\displaystyle \begin{equation}
\begin{cases}
x^2+\frac{y^2}{9}-1 \geq 0\\4-x^2-y^2 > 0
\end{cases}
\end{equation} \)
La prima equazione si riferisce ad un ellisse, i cui vertici sono (1,0); (-1,0); (0,-3); (0,3).
La seconda equazione si riferisce ad una circonferenza di centro 0 e raggio √2.
Andandole a rappresentarle sul piano, ottengo questo dominio
Ho graficato in nero la parte di bordo compresa nel dominio. In rosso, invece, quella non compresa. Dalla definizione di insieme aperto so che, per ritenersi tale, i punti dell'insieme devono essere interni. In questo caso ho che alcuni punti appartengono alla frontiera, mentre altri no. Se affermo che il mio dominio non è né aperto né chiuso sto dicendo una cavolata? Inoltre dovrebbe essere limitato.
Per quanto riguarda il punto b) è una richiesta totalmente differente no? Non vorrei che l'equazione g(x,y) fosse il vincolo, ma non credo...l'avrebbe scritto altrimenti
a. Data la funzione \(\displaystyle f(x,y)=\frac{\sqrt{x^2+\frac{y^2}{9}-1}}{\sqrt{4-x^2-y^2}} \) determinare l'insieme di de finizione D, rappresentarlo grafi camente e dire se esso è aperto, chiuso, limitato.
b. Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi della seguente
funzione: \(\displaystyle g(x,y)=arctan(x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3) \)
Per quanto riguarda il punto a) ho così impostato il calcolo del dominio
\(\displaystyle \begin{equation}
\begin{cases}
x^2+\frac{y^2}{9}-1 \geq 0\\4-x^2-y^2 > 0
\end{cases}
\end{equation} \)
La prima equazione si riferisce ad un ellisse, i cui vertici sono (1,0); (-1,0); (0,-3); (0,3).
La seconda equazione si riferisce ad una circonferenza di centro 0 e raggio √2.
Andandole a rappresentarle sul piano, ottengo questo dominio
Ho graficato in nero la parte di bordo compresa nel dominio. In rosso, invece, quella non compresa. Dalla definizione di insieme aperto so che, per ritenersi tale, i punti dell'insieme devono essere interni. In questo caso ho che alcuni punti appartengono alla frontiera, mentre altri no. Se affermo che il mio dominio non è né aperto né chiuso sto dicendo una cavolata? Inoltre dovrebbe essere limitato.
Per quanto riguarda il punto b) è una richiesta totalmente differente no? Non vorrei che l'equazione g(x,y) fosse il vincolo, ma non credo...l'avrebbe scritto altrimenti
Risposte
Per il punto a) il dominio che hai trovato non è né aperto e né chiuso. Per dimostrarlo basterebbe dire che non è vero che è aperto, perché se fosse aperto conterrebbe tutti i suoi punti interni, ma questo non è vero perché la parte della frontiera che hai evidenziato in nero vi sono punti che rientrano nel dominio ma che non sono interni. E non è neanche chiuso perché il suo complementare non è aperto.
Per il punto b) dovresti calcolarti le derivate parziali della funzione $g(t,x)$ rispetto a $x$ ed a $y$ e poi studiare il sistema ottenuto ponendole entrambe uguali a 0. Una volta trovate le soluzioni dovresti calcolarti le derivate seconde e studiare la matrice hessiana.
PEr come hai posto tu il problema $g$ non è il vincolo.
Per il punto b) dovresti calcolarti le derivate parziali della funzione $g(t,x)$ rispetto a $x$ ed a $y$ e poi studiare il sistema ottenuto ponendole entrambe uguali a 0. Una volta trovate le soluzioni dovresti calcolarti le derivate seconde e studiare la matrice hessiana.
PEr come hai posto tu il problema $g$ non è il vincolo.
"tranesend":
Per il punto a) il dominio che hai trovato non è né aperto e né chiuso. Per dimostrarlo basterebbe dire che non è vero che è aperto, perché se fosse aperto conterrebbe tutti i suoi punti interni, ma questo non è vero perché la parte della frontiera che hai evidenziato in nero vi sono punti che rientrano nel dominio ma che non sono interni. E non è neanche chiuso perché il suo complementare non è aperto.
D'accordissimo, era come pensavo, grazie
"tranesend":
Per il punto b) dovresti calcolarti le derivate parziali della funzione $g(t,x)$ rispetto a $x$ ed a $y$ e poi studiare il sistema ottenuto ponendole entrambe uguali a 0. Una volta trovate le soluzioni dovresti calcolarti le derivate seconde e studiare la matrice hessiana.
PEr come hai posto tu il problema $g$ non è il vincolo.
Ho fatto il punto b), vorrei però chiederti conferma.
Le derivate parziali sono
\(\displaystyle g_x(x,y)=\frac{x^2y^2(3-4x-3y)}{1+(x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3)^2}; g_y(x,y)=\frac{x^3y(2-2x-3y)}{1+(x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3)^2} \)
Impongo \(\displaystyle \nabla g=0 \)
\(\displaystyle \begin{equation}
\begin{cases}
\frac{x^2y^2(3-4x-3y)}{1+(x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3)^2}=0\\\frac{x^3y(2-2x-3y)}{1+(x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3)^2}=0
\end{cases}
\end{equation}
\)
\(\displaystyle \begin{equation}
\begin{cases}
x^2y^2(3-4x-3y)=0\\2-2x-3y=0
\end{cases}
\end{equation} \)
Adesso svolgendo sia per $x=0$ che per $y=0$ non ottengo dei punti critici. Per cui mi limito a risolvere questo sistema
\(\displaystyle \begin{equation}
\begin{cases}
3-4x-3y=0 \rightarrow x=\frac{3-3y}{4}\\2-2x-3y=0
\end{cases}
\end{equation} \)
Da cui ottengo il punto $(1/2,1/3)$. Intanto ho svolto correttamente il sistema?
A questo punto dovrei calcolare le derivate parziali seconde e procedere al calcolo dell'Hessiana nel punto, solo che i conti sarebbero un po' lunghetti. Non c'è qualche altro modo di svolgerlo?
Idea: essendo l'arcotangente una funzione strettamente crescente, non posso valutare solo il suo argomento? Ho studiato un metodo sulle composizioni a lezione, se infatti $h=g(f)$, con $g=arctan$ e $f=(x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3)$, i punti di minimo e massimo per $f $ lo sono anche per $g$. Secondo voi è giusto procedere così?
"Enri93":
Idea: essendo l'arcotangente una funzione strettamente crescente, non posso valutare solo il suo argomento? Ho studiato un metodo sulle composizioni a lezione, se infatti $h=g(f)$, con $g=arctan$ e $f=(x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3)$, i punti di minimo e massimo per $f $ lo sono anche per $g$. Secondo voi è giusto procedere così?
Guarda sinceramente ho dato questo esame l'anno scorso e non ricordo neanche se ho fatto questo metodo delle composizioni. Credo che l'unico modo analitico per trovare i punti di massimo e di minimo sia studiare l'hessiana e so che sono dei calcoli lunghetti. Comunque il sistema hai fatto un solo errore perché non so per quale motivo ma studiando $g_y$ hai scartato il valore che hai messo in evidenza nel sistema. Infatti i punti critici sono pù di uno. Vediamoli:
$$ \begin{cases} x^2 y^2 (3-4x-3y) = 0 \\ y x^3 (2-2x-3y)=0 \end{cases}.$$
Quindi osserviamo che prima di tutto ogni punto $(x,y)$ che ha almeno una delle due variabili uguale a $0$ è punto critico. E allora i punti critici saranno tutti i punti del tipo
$$(x,0) \qquad (0,y)$$
Un altrettanto punto critico è $(\frac{1}{2};\frac{1}{3})$
Cavolo, hai ragione! Errore grave 
"tranesend":
[quote="Enri93"]Idea: essendo l'arcotangente una funzione strettamente crescente, non posso valutare solo il suo argomento? Ho studiato un metodo sulle composizioni a lezione, se infatti $h=g(f)$, con $g=arctan$ e $f=(x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3)$, i punti di minimo e massimo per $f $ lo sono anche per $g$. Secondo voi è giusto procedere così?
Guarda sinceramente ho dato questo esame l'anno scorso e non ricordo neanche se ho fatto questo metodo delle composizioni. Credo che l'unico modo analitico per trovare i punti di massimo e di minimo sia studiare l'hessiana e so che sono dei calcoli lunghetti. Comunque il sistema hai fatto un solo errore perché non so per quale motivo ma studiando $g_y$ hai scartato il valore che hai messo in evidenza nel sistema. Infatti i punti critici sono pù di uno. Vediamoli:
$$ \begin{cases} x^2 y^2 (3-4x-3y) = 0 \\ y x^3 (2-2x-3y)=0 \end{cases}.$$
Quindi osserviamo che prima di tutto ogni punto $(x,y)$ che ha almeno una delle due variabili uguale a $0$ è punto critico. E allora i punti critici saranno tutti i punti del tipo
$$(x,0) \qquad (0,y)$$
Un altrettanto punto critico è $(\frac{1}{2};\frac{1}{3})$[/quote]
Nel caso dei punti del tipo $(x,0) \qquad (0,y)$ come procedo? Il determinante dell'Hessiana viene in entrambi i casi nulla
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