Dominio funzione a due variabili

[mrpoint]

Salve a tutti, ho questa funzione a due variabili: $sqrt(1+log((x+y)^2-1))$

Il dominio della funzione dovrebbe essere composto dalle disequazioni:
$(x+y)^2-1>0$ e $1+log((x+y)^2-1)>=0$

la prima disequazione è verificata per $(x+y)^2>1$ che diventa $x+y>1$ o $x+y<-1$.

Ora vengono le domande:

Nella seconda disequazione invece ho che risulta verificata quando $log((x+y)^2-1)>(-1)$
nella soluzione poi leggo che $(x+y)^2>=(1/e)+1$, bene qui proprio non capisco, da dove arriva questa considerazione? mi suona molto come conseguenza delle proprietà di $e$ e dei logaritmi ma non saprei dire altro, sicuramente è una considerazione che non avrei fatto autonomamente. Qualcuno mi sa dare una spiegazione? Grazie mille

[K.Lomax]

Hai mai risolto disequazioni con i logaritmi?
La disequazione:

$ln((x+y)^2-1)>$$-1$

si verifica se

$(x+y)^2-1>e^(-1)$

[gygabyte017]

In generale hai che $ln(a)>b => e^ln(a)>e^b => a>e^b$ visto che il logaritmo è una funzione strettamente crescente e non ha problemi di invertibilità.

Quindi: $ln((x+y)^2-1)> -1 => (x+y)^2-1>e^(-1) => (x+y)^2>1/e +1$.

Tornando al problema, hai trovato che $(x+y)^2> 1$ e $(x+y)^2>1/e +1$, da cui l'intersezione è $(x+y)^2>1/e +1$ che è il dominio della funzione.

[mrpoint]

Grazie ad entrambi, mi serviva una bella rinfrescata.