Dominio funzione

[Lokad]

Il problema nasce da questa funzione:

$|2*lnx - ln(|lnx|)|$
che io usando le proprietà deri logaritmi mi son riportato a:
$|ln((x^2)/|lnx|)|$

il dominio sarebbe a sistema:
$x^2/|lnx|>0$
$x>0$

la prima condizione si spezza a sua volta in due condizioni per via del valore assoluto:
$x^2/lnx>0$ per x>1
$x^2/-lnx>0$ per x<1

diventando di fatto un sistema annidato nel sistema maggiore. Solo che non so come procedere poichè il sottosistema non ammette soluzioni (risolvendo le disequazioni) e questo mi porta che non vi siano soluzioni reali ma questo non è vero. Dov'è l'inghippo?

[@melia]

Purtroppo le proprietà dei logaritmi si possono applicare solo dove la funzione esiste, quindi il dominio va fatto a priori.
Prendendo il testo hai che $lnx$ per esistere ha bisogno di $x>0$, mentre $ln|lnx|$ esiste quando $|lnx|$ esiste ed è positivo, ma un valore assoluto non è mai negativo, quindi $\{(x>0),(lnx != 0):}$ da cui $x>0 ^^x !=1$ che messa a sistema con la prima condizione resta invariata, quindi il dominio è $x>0 ^^x !=1$

[Lokad]

ah e io che mi facevo problemi inutilmente.
Comunque sto avendo difficoltà nello "spezzare" la funzione, dati i due valori assoluti.
Mettendo la traccia >0
$|log(x^2)/|logx||>0$

si ha che (a sistema):
$\{((x^2)/|logx|>1),((x^2)/|logx|<1):}$
cioè:
$\{(\{((x^2)/logx>1), ((x^2)/-logx>1):}),(\{(-(x^2)/logx<1), (-(x^2)/-logx<1):}):}$

se ho fatto tutto bene (e non credo )
come si risolve una disequazione del tipo $x^2+logx>0$ che si presenta facendo un po' di calcoli?
Scusate l'ignoranza. In quali punti si spezza la funzione?