Dominio funzione

[floyd1231]

Ciao a tutti, devo determinare il dominio della seguente funzione:
$ f(x)=1/(sqrt(log_(1/e)(1-sen^4(x)) $
Pongo $ log_(1/e)(1-sen^4(x))>=0 $ e $ 1-sen(x)^4>0 $. Tuttavia, non riesco a procedere. Potreste aiutarmi, per favore?

[M.C.D.1]

$ { (log_[1/e](1-sin^4x) >= 0),( 1- sin^4(x) > 0 ), (log_[1/e](1-sin^4x) != 0):} $

Partiamo dalla seconda, è una disequazione goniometrica, che osservazione puoi fare (ricordando le caratteristiche della funzione seno)?

la prima è una disequazione logaritmica, puoi riscriverla come segue:

$log_[1/e](1-sin^4x) >= log_[1/e](1)$

Adesso come continueresti?

[floyd1231]

Ciao, grazie mille per la risposta! Ero arrivato a queste due cose, però il problema sono proprio le disequazioni goniometriche. Per quanto riguarda la prima, io so che il $ sen $ oscilla tra $ -1 $ e $ 1 $.

[pilloeffe]

Ciao floyd123,

$1 - sin^4 x > 0 $

$(1 - sin^2 x)(1 + sin^2 x) > 0 $

Il secondo fattore è sempre positivo quindi...

[floyd1231]

Grazie per la risposta pilloeffe.
Dunque, $ sen^2(x)<1 $?

[pilloeffe]

Esatto, ovvero $ cos^2 x > 0 $, che è sempre verificata a parte i punti nei quali il coseno si annulla, cioè $x_k = (2k + 1) \pi/2 $ $ k \in \ZZ $

[M.C.D.1]

io avrei addirittura evitato di scomporre, osservando che $sen(x)$ è una quantità sempre compresa tra $-1<=sen(x)<=1$ gli unici valori che dovrò scartare sono quelli in cui $sen^4(x)$ assume il valore $1$ ovvero $pi/2 + 2kpi$ e $3/2pi + 2kpi$

Per la seconda disequazione, una volta che hai scritto il secondo membro come logaritmo, puoi procedere al confronto degli argomenti, sfruttando le caratteristiche di crescenza/decrescenza della funzione logaritmo.
Occhio solo che essendo in questo caso la base del logaritmo $<1$ il logaritmo è decrescente.

[floyd1231]

Grazie mille
Per risolvere la disequazione logaritmica devo porre $ { ( 1-sen^4(x)>0 ),( 1-sen^4(x)<1 ):} $
E' corretto? La seconda disequazione del sistema, in tal caso, è verificata per $ 2kpi

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[M.C.D.1]

"floyd123":Grazie mille
Per risolvere la disequazione logaritmica devo porre $ { ( 1-sen^4(x)>0 ),( 1-sen^4(x)<1 ):} $
E' corretto? La seconda disequazione del sistema, in tal caso, è verificata per $ 2kpi

occhio all $=$, la seconda disequazione è: $1-sin^4(x) <= 1$

[pilloeffe]

Invece io direi proprio che quell'uguale non ci vuole, perché è sbagliata quella iniziale di floyd123:

"floyd123":Pongo $log_{1/e}(1−sin^4 (x)) \ge 0 $

perché la radice quadrata è a denominatore, per cui non può essere nulla...

[floyd1231]

Perfetto! E la seconda disequazione è verificata per $ 2kpi

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[pilloeffe]

"floyd123":E la seconda disequazione è verificata per $2k \pi < x < \pi $?

$1 - sin^4 x < 1 $
$ - sin^4 x < 0 $

e l'ultima disequazione scritta è sempre vera fatta eccezione per i casi in cui si annulla la funzione $sin x $, cioè nei punti $ x_k = k\pi $, $k \in \ZZ $
Se proprio ci tieni ad avere la soluzione sotto la forma che ho citato, scriverei $ k\pi < x < (k + 1)\pi $, $ k \in \ZZ $

[floyd1231]

Grazie pilloeffe! Scusami, le disequazioni trigonometriche davvero non mi vanno giù!

[pilloeffe]

"floyd123":Grazie pilloeffe!

Prego!

"floyd123":le disequazioni trigonometriche davvero non mi vanno giù!

Ma lo sai che un po' si era capito...

[floyd1231]

"pilloeffe":Ma lo sai che un po' si era capito...

Eh già