Dominio equazioni differenziali di primo ordine ?
$\{ (x'(t) + (tan t) x(t) = (cost)^2), (x(0) = 1):}$
Ho determinato la soluzione del problema di Cauchy che è la seguente :
$ x(t) = cost + cos t sin t $
Il problema è che non riesco a determinare il dominio, poichè non riesco a distinguere $h(t)$ e $g(x)$.
La soluzione è $t in (-pi/2 , pi/2 )$ .
Ho determinato la soluzione del problema di Cauchy che è la seguente :
$ x(t) = cost + cos t sin t $
Il problema è che non riesco a determinare il dominio, poichè non riesco a distinguere $h(t)$ e $g(x)$.
La soluzione è $t in (-pi/2 , pi/2 )$ .
Risposte
Cosa sarebbero $g(x)$ ed $h(t)$???
Per calcolare i domini, negli altri esempi vedo che ci si riconduce alla formula $ G(x)=H(t)+c $
Ovviamente se ci sono altri metodi, magari anche più semplici mi vanno bene comunque.
Ovviamente se ci sono altri metodi, magari anche più semplici mi vanno bene comunque.
“Negli esempi vedo”... E la teoria dove la metti?
Dov’è definita la soluzione di un problema di Cauchy? Fin dove si può prolungare?
P.S.: Per che esami studi?
Dov’è definita la soluzione di un problema di Cauchy? Fin dove si può prolungare?
P.S.: Per che esami studi?
Per Analisi II.
$ x'(t) = h(t)g(x(t)) $
Le soluzioni sono date da :
1) soluzioni costanti
2 ) le altre soluzioni sono definite da $ G(x)=H(t)+c $ dove $ G'=1/g $ e $ H'=h $
L'esercizio è invece nella forma $ x'(t) + p(t)x(t) = q(t) $ .
Pertanto quanto ci si trova in questo caso, come si determina il dominio ?
$ x'(t) = h(t)g(x(t)) $
Le soluzioni sono date da :
1) soluzioni costanti
2 ) le altre soluzioni sono definite da $ G(x)=H(t)+c $ dove $ G'=1/g $ e $ H'=h $
L'esercizio è invece nella forma $ x'(t) + p(t)x(t) = q(t) $ .
Pertanto quanto ci si trova in questo caso, come si determina il dominio ?
Infatti, la tua EDO non è a variabili separabili, quindi non puoi ragionare “alla buona” come finora hai “visto negli esempi”.
Devi ragionare sulla teoria e tirare fuori qualcosa.
Che libro usi?
Devi ragionare sulla teoria e tirare fuori qualcosa.
Che libro usi?
Per teoria ed esercizi utilizziamo le dispense scritte dal prof.
In effetti non mi ero espresso io bene nella domanda e pertanto la ripropongo.
Quando mi trovo nella situazione x'(t) = h(t)g(x(t)), il dominio riesco a calcolarlo riconducendomi a G(x)=H(t)+c.
Quando invece mi trovo nella forma x'(t) + p(t)x(t) = q(t) non sò come determinare il dominio, anche perchè di questo genere ne abbiamo svolto solo uno a lezione e tra l'altro senza specificare il dominio .
In effetti non mi ero espresso io bene nella domanda e pertanto la ripropongo.
Quando mi trovo nella situazione x'(t) = h(t)g(x(t)), il dominio riesco a calcolarlo riconducendomi a G(x)=H(t)+c.
Quando invece mi trovo nella forma x'(t) + p(t)x(t) = q(t) non sò come determinare il dominio, anche perchè di questo genere ne abbiamo svolto solo uno a lezione e tra l'altro senza specificare il dominio .
"simonerusso64":
Per teoria ed esercizi utilizziamo le dispense scritte dal prof.
Vabbè, ma la domanda resta.
Se non so cosa ti hanno detto della teoria delle EDO e del problema di Cauchy, come faccio a darti una mano?
Ad esempio, ti hanno dimostrato/enunciato il teorema di esistenza ed unicità locali?
Ti hanno detto che le soluzioni locali si possono prolungare? E fino a dove?
"simonerusso64":
Quando invece mi trovo nella forma x'(t) + p(t)x(t) = q(t) non sò come determinare il dominio, anche perchè di questo genere ne abbiamo svolto solo uno a lezione e tra l'altro senza specificare il dominio.
Quello che hai visto a lezione è, grossomodo, un terzo di quel che ti serve per l’esame.
Il resto devi costruirlo tu, leggendo libri e facendo esercizi.
Nelle prove scritte scorse, il dominio lo richiedeva di calcolarlo solo nelle equazioni differenziali di primo ordine a variabili separabili e in quelle di secondo ordine. Di questo tipo non c'è ne sono.
Tuttavia questo esercizio l'ho trovato nell'eserciziario del prof.
Pertanto se sapete dirmi come va svolto ( aldilà se abbiamo trattato o meno certi teoremi ) mi va bene lo stesso.
Tuttavia questo esercizio l'ho trovato nell'eserciziario del prof.
Pertanto se sapete dirmi come va svolto ( aldilà se abbiamo trattato o meno certi teoremi ) mi va bene lo stesso.
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