Dominio e ricerca dei punti di discontinuità
Buonasera a tutti!
Devo ricercare gli eventuali punti di discontinuità della funzione $f(x)=lim_(n->+oo)1/(1+|2sinx-1|^n)$.
Innanzitutto mi chiedo una cosa: come determino il dominio? Io ho ragionato così: affinchè la funzione abbia senso, il risultato del limite deve essere un numero e, ricordando le proprietà della successione $a^n$ con $ainRR$ e $ninNN$, se ne deduce che anche quando $|2sinx-1|^n->+oo$, la frazione converge (a zero), perciò:
$lim_(n->+oo)1/(1+|2sinx-1|^n)=0$ quando $|2sinx-1|>1$ (ometto i calcoli).
Quindi la funzione in oggetto è ovunque definita in $RR$.
Giusto?
Premetto che sono andato un po' alla cieca nella ricerca del dominio, quindi se qualcuno di voi volesse illustrarmi la sua idea, gliene sarei grato.
Chiarito questo primo punto del dominio (fondamentale!) credo che la ricerca dei punti di discontinuità risulti facile...
Andrea
Devo ricercare gli eventuali punti di discontinuità della funzione $f(x)=lim_(n->+oo)1/(1+|2sinx-1|^n)$.
Innanzitutto mi chiedo una cosa: come determino il dominio? Io ho ragionato così: affinchè la funzione abbia senso, il risultato del limite deve essere un numero e, ricordando le proprietà della successione $a^n$ con $ainRR$ e $ninNN$, se ne deduce che anche quando $|2sinx-1|^n->+oo$, la frazione converge (a zero), perciò:
$lim_(n->+oo)1/(1+|2sinx-1|^n)=0$ quando $|2sinx-1|>1$ (ometto i calcoli).
Quindi la funzione in oggetto è ovunque definita in $RR$.
Giusto?
Premetto che sono andato un po' alla cieca nella ricerca del dominio, quindi se qualcuno di voi volesse illustrarmi la sua idea, gliene sarei grato.
Chiarito questo primo punto del dominio (fondamentale!) credo che la ricerca dei punti di discontinuità risulti facile...
Andrea
Risposte
Ma ti stai perdendo quasi tutte le informazioni, così. Quel limite (per $n\toinfty$) è sempre zero? Per ogni valore della $x$?
No, se $|2sinx-1|=1$ il limite vale $1/2$...
E poi? C'è ancora un'altra possibilità.
Quando $|2sinx-1|=0$ il limite vale $1$.
A questo scrivo la funzione $f(x)$ a tratti e ne studio i punti di discontinuità, giusto?
A questo scrivo la funzione $f(x)$ a tratti e ne studio i punti di discontinuità, giusto?
Esatto. In questo caso puoi ottenere l'espressione esplicita della tua $f$, precisamente
$f(x)={(0, "se " 0<|2sinx-1|<1), (1/2,"se " |2sinx-1|=1), (1, "se " |2sinx-1|=0):}$ (ma è opportuno che tu riscriva le condizioni in forma esplicita, risolvendo la prima disequazione e le altre due equazioni). [EDIT]E' proprio opportuno, visto che questa espressione scritta da me è tutta sbagliata!
Puoi quindi cercare i punti di discontinuità nella maniera solita. Una osservazione standard, ma molto importante. Se scriviamo $f_n(x)=\frac{1}{1+|2sin x-1|^n}$, abbiamo che $f(x)=lim_{n\toinfty}f_n(x)$ per ogni $x\inRR$. Ma mentre le funzioni $f_n$ sono continue, la funzione $f$ non lo è.
$f(x)={(0, "se " 0<|2sinx-1|<1), (1/2,"se " |2sinx-1|=1), (1, "se " |2sinx-1|=0):}$ (ma è opportuno che tu riscriva le condizioni in forma esplicita, risolvendo la prima disequazione e le altre due equazioni). [EDIT]E' proprio opportuno, visto che questa espressione scritta da me è tutta sbagliata!
Puoi quindi cercare i punti di discontinuità nella maniera solita. Una osservazione standard, ma molto importante. Se scriviamo $f_n(x)=\frac{1}{1+|2sin x-1|^n}$, abbiamo che $f(x)=lim_{n\toinfty}f_n(x)$ per ogni $x\inRR$. Ma mentre le funzioni $f_n$ sono continue, la funzione $f$ non lo è.
Pardon, dissonance, ma se [tex]$0<|2\sin x -1|<1$[/tex] non si ha [tex]$|2\sin x -1|^n \to 0$[/tex] e perciò [tex]$f(x)=1$[/tex]?
Inoltre, ti sei perso per strada il caso [tex]$|2\sin x-1|>1$[/tex]...
Inoltre, ti sei perso per strada il caso [tex]$|2\sin x-1|>1$[/tex]...
Infatti, il caso in cui $|2sinx-1|>1$ l'ho già esaminato nel primo post. In particolare risulta $f(x)=0$ quando $0<|2sinx-1|<1, |2sinx-1|>1$. Inoltre, come ha osservato gugo82, ci siamo persi la strada $0<|2sinx-1|<1$...
@Andrea: A questo punto sono obbligato a scriverti lo svolgimento corretto. E' tutta questione di applicare correttamente il limite noto
[tex]\displaymath \lim_{n \to \infty} a^n=\begin{cases} +\infty & 1
Chiamo [tex]a(x)=\lvert 2\sin x -1 \rvert[/tex]. Ovviamente [tex]a(x)[/tex] è sempre positivo; allora
[tex]\displaymath \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+a(x)^n}=\begin{cases} 0 & 1
Ora esplicitiamo le condizioni:
[tex]1 1\ \mathrm{ oppure }\ 2 \sin x -1 < -1 \iff \\ \sin x > 1\ \mathrm{ oppure }\ \sin x < 0 \iff \\ \sin x < 0 \iff \\ \boxed{(2k-1) \pi < x < 2k \pi;\ k \in \mathbb{Z}}[/tex];
[tex]1=a(x) \iff 1=2\sin x -1 \ \mathrm{oppure}\ -1= 2 \sin x -1 \iff 1= \sin x\ \mathrm{oppure}\ 0=\sin x\iff \\ \boxed{x=k\pi\ \mathrm{oppure}\ x={\pi\over 2} + 2h\pi;\ k,h \in \mathbb{Z}}[/tex];
ed è inutile fare conti per la terza condizione: il limite deve esistere per ogni [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] quindi deve necessariamente essere
[tex]0 \le a(x) < 1 \iff \\ \boxed{2k\pi< x < {5 \over 2}k\pi\ \mathrm{oppure}\ {5 \over 2}k \pi < x < (2k+1)\pi ;\ k\in \mathbb{Z}}[/tex];
ovvero tutte le [tex]x[/tex] lasciate fuori dalle condizioni precedenti. Riassumendo:
[tex]\displaymath f(x)= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+a(x)^n}= \begin{cases}{0 & x=k\pi\ \mathrm{oppure}\ x={\pi\over 2} + 2h\pi;\ k,h \in \mathbb{Z} \\ 1/2 & x=k\pi\ \mathrm{oppure}\ x={\pi\over 2} + 2h\pi;\ k,h \in \mathbb{Z} \\ 1 & 2k\pi< x < {5 \over 2}k\pi\ \mathrm{oppure}\ {5 \over 2}k \pi < x < (2k+1)\pi;\ k\in \mathbb{Z} \end{cases}[/tex].
Ti allego anche i grafici dei primi 30 termini della successione disposti in sequenza, così puoi vedere "come" la successione converge a questa funzione [tex]f[/tex] costante a tratti:
P.S.: Scusa per l'errore di ieri sera. Per fortuna vedo che non ti ho confuso troppo le idee. Meno male! Ah, e spero di non aver sbagliato di nuovo.
[tex]\displaymath \lim_{n \to \infty} a^n=\begin{cases} +\infty & 1
Chiamo [tex]a(x)=\lvert 2\sin x -1 \rvert[/tex]. Ovviamente [tex]a(x)[/tex] è sempre positivo; allora
[tex]\displaymath \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+a(x)^n}=\begin{cases} 0 & 1
Ora esplicitiamo le condizioni:
[tex]1
[tex]1=a(x) \iff 1=2\sin x -1 \ \mathrm{oppure}\ -1= 2 \sin x -1 \iff 1= \sin x\ \mathrm{oppure}\ 0=\sin x\iff \\ \boxed{x=k\pi\ \mathrm{oppure}\ x={\pi\over 2} + 2h\pi;\ k,h \in \mathbb{Z}}[/tex];
ed è inutile fare conti per la terza condizione: il limite deve esistere per ogni [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] quindi deve necessariamente essere
[tex]0 \le a(x) < 1 \iff \\ \boxed{2k\pi< x < {5 \over 2}k\pi\ \mathrm{oppure}\ {5 \over 2}k \pi < x < (2k+1)\pi ;\ k\in \mathbb{Z}}[/tex];
ovvero tutte le [tex]x[/tex] lasciate fuori dalle condizioni precedenti. Riassumendo:
[tex]\displaymath f(x)= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+a(x)^n}= \begin{cases}{0 & x=k\pi\ \mathrm{oppure}\ x={\pi\over 2} + 2h\pi;\ k,h \in \mathbb{Z} \\ 1/2 & x=k\pi\ \mathrm{oppure}\ x={\pi\over 2} + 2h\pi;\ k,h \in \mathbb{Z} \\ 1 & 2k\pi< x < {5 \over 2}k\pi\ \mathrm{oppure}\ {5 \over 2}k \pi < x < (2k+1)\pi;\ k\in \mathbb{Z} \end{cases}[/tex].
Ti allego anche i grafici dei primi 30 termini della successione disposti in sequenza, così puoi vedere "come" la successione converge a questa funzione [tex]f[/tex] costante a tratti:
P.S.: Scusa per l'errore di ieri sera. Per fortuna vedo che non ti ho confuso troppo le idee. Meno male! Ah, e spero di non aver sbagliato di nuovo.
@ dissonance: Ma i grafici animati come li fai?
Con Maple. Secondo me questa è una delle applicazioni più semplici e carine dei software di calcolo simbolico.
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