Dominio e limitatezza di una soluzione di equazione differenziale
Buondì,
ho praticamente finito di vedere le equazioni differenziali ma in questo esercizio:
$ y' = (y- \pi/4 ) * (cos(x))^3 $
mi viene chiesto di verificare qual'è il dominio della soluzione e se è limitata.
Per il dominio grossomodo me la cavo: la soluzione che mi viene è $ y(x) = \pi/4 + K* e^(sin x - 1/3* (sin (x))^3) $
dove K è una costante arbitraria. Da li vedo che le funzioni sono tutte senza CE e quindi il dominio è tutto l'insieme dei reali.
Tuttavia sulla limitatezza non ho veramente idea di come si fa. Ho la soluzione, ma non spiegano come arrivarci.
ho praticamente finito di vedere le equazioni differenziali ma in questo esercizio:
$ y' = (y- \pi/4 ) * (cos(x))^3 $
mi viene chiesto di verificare qual'è il dominio della soluzione e se è limitata.
Per il dominio grossomodo me la cavo: la soluzione che mi viene è $ y(x) = \pi/4 + K* e^(sin x - 1/3* (sin (x))^3) $
dove K è una costante arbitraria. Da li vedo che le funzioni sono tutte senza CE e quindi il dominio è tutto l'insieme dei reali.
Tuttavia sulla limitatezza non ho veramente idea di come si fa. Ho la soluzione, ma non spiegano come arrivarci.
Risposte
Devi scrivere "delle soluzioni", non "della soluzione", non ce n'è mica una sola.
Quanto a vedere se una funzione è limitata, è un esercizio di analisi 1 e la tua è una domanda di analisi 1. Non hai fatto esercizi analoghi finora? Inizia con dimostrare che \(\sin x - \frac{\sin^3 x}{3}\) è una funzione limitata.
Quanto a vedere se una funzione è limitata, è un esercizio di analisi 1 e la tua è una domanda di analisi 1. Non hai fatto esercizi analoghi finora? Inizia con dimostrare che \(\sin x - \frac{\sin^3 x}{3}\) è una funzione limitata.
Grazie per l'indizio, ora provo.
In realtà... no. E' l'ultimo esame che mi manca e di analisi 1 e algebra mi ricordo pochissimo.
"dissonance":
Non hai fatto esercizi analoghi finora?
In realtà... no. E' l'ultimo esame che mi manca e di analisi 1 e algebra mi ricordo pochissimo.
Dicevo degli esercizi analoghi per capire se hai già qualche metodo in testa, e quindi evitare di confonderti. Quanto ad analisi 1, era una nota per mettere le cose nella giusta prospettiva: una cosa è studiare qualcosa di nuovo e un'altra è recuperare delle lacune. (Succede a tutti di avere delle lacune, a me succede quasi tutti i giorni). Ho visto nell'altro topic che ti sei sentito offeso e questo mi dispiace.
Una funzione \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\) è limitata se esiste una costante \(C\ge 0\) tale che \(|f(x)|\le C\). In questo esercizio non ci viene chiesto di trovare una costante ottimale (=più piccola possibile). Nel caso di \(\sin x - \frac13 \sin^3 x\), puoi trovare una costante non ottimale in un attimo.
Una funzione \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\) è limitata se esiste una costante \(C\ge 0\) tale che \(|f(x)|\le C\). In questo esercizio non ci viene chiesto di trovare una costante ottimale (=più piccola possibile). Nel caso di \(\sin x - \frac13 \sin^3 x\), puoi trovare una costante non ottimale in un attimo.
ok, ma a me dicono nella soluzione che qualsiasi soluzione si prenda per l'equazione differenziale, risulta sempre:
$ |y(x)| <= \pi/4 + |K| * e^(sin x - 1/3* (sin (x))^3) <= \pi/4 + |K| * e^(4/3) $
mi sembra parecchio specifica per essere che uno può prendere la costante che preferisce, oltre al fatto che non spiegano assolutamente come arrivarci.
La definizione di insieme limitato l'ho ripassata mentre studiavo la teoria, molto semplicemente, senza un esempio, non riesco a fare nulla.
$ |y(x)| <= \pi/4 + |K| * e^(sin x - 1/3* (sin (x))^3) <= \pi/4 + |K| * e^(4/3) $
mi sembra parecchio specifica per essere che uno può prendere la costante che preferisce, oltre al fatto che non spiegano assolutamente come arrivarci.
La definizione di insieme limitato l'ho ripassata mentre studiavo la teoria, molto semplicemente, senza un esempio, non riesco a fare nulla.
Come arrivarci lo puoi capire da solo, lascia stare le soluzioni. Hai provato a fare quello che dicevo nel post precedente?
beh, non credo ci sia molto da dimostrare no? alla fine il seno è una funzione che può andare solo da -1 a 1, quindi appena uno trova il valore di x per cui l'esponente di e è massimo, trova anche il limite superiore.
Per quello inferiore onestamente non so che pesci prendere
Per quello inferiore onestamente non so che pesci prendere
Continui a fare le cose in fretta e furia, forse sei in ansia da esame? La cosa è molto semplice:
\[
|\sin x - \frac13\sin^3 x|\le \frac43, \]
e quindi
\[
e^{\sin x - \frac13\sin^3 x}\le e^{|\sin x - \frac13\sin^3 x|}\le e^\frac43.\]
\[
|\sin x - \frac13\sin^3 x|\le \frac43, \]
e quindi
\[
e^{\sin x - \frac13\sin^3 x}\le e^{|\sin x - \frac13\sin^3 x|}\le e^\frac43.\]
assolutamente si, in ansia ahah
però io ho $- 1/3$ non +
però io ho $- 1/3$ non +
Non cambia niente. Ho modificato il messaggio di prima
dici che ci posso applicare la disuguaglianza triangolare per avere questa cosa più chiara? quando vedo
$ | x - y | $
penso sempre al modulo del totale, che con quel meno sarebbe prima una sottrazione e solo dopo una rimozione dell'eventuale segno - , ma secondo la dis. triangolare
$ | x + y | <= |x| + |y| $
per cui se immagino y negativo viene effettivamente
$ |1-1/3| <= |1|+|-1/3| $
$ | x - y | $
penso sempre al modulo del totale, che con quel meno sarebbe prima una sottrazione e solo dopo una rimozione dell'eventuale segno - , ma secondo la dis. triangolare
$ | x + y | <= |x| + |y| $
per cui se immagino y negativo viene effettivamente
$ |1-1/3| <= |1|+|-1/3| $
È questo che ho fatto io prima.
ah ok grazie
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