Dominio e integrali

[lambda1]

Salve a tutti.
Vi vorrei sottoporre un dubbio che mi è venuto facendo un esercizio.

sia $ D = { (x,y)in R^2 | |x|^(1/3) <= y <= 1} $

Disegnare D e calcolare gli integrali

1) $ int_(D)^() e^(y^4) dxdy $
2) $ int_(D)^() xe^(y^4) dxdy $

per quanto riguarda il disegno del dominio non c'è problema.
non sono sicuro sulla trasformazione che avevo intenzione di usare, cioè

$ u = |x|^(1/3) $ $ -> $ $ x=u^3 $
(considero x>0 dato che f(x,y) = e^(y^4) = f(-x,y) e poi faccio 2 * integrale di f(x,y) D ristretto su x>0)
$ v = 4y $ $ -> $ $ y=v/4 $
calcolo la jacobiana e faccio il det ottenendo:
$ det ( ( 3u^2 , 0 ),( 0 , 1/4 ) ) = 3/4 u^2 $
cambio il dominio e ottengo
$ S={(u,v)in R^2 | u <= v/4 <= 1} $
e ora sostituisco e faccio l'integrale
$ int_(S)^() e^v*3/4u^2 dvdu $
che pensavo di sviluppare come v-semplice ovvero
$ int_(0)^(1) int_(4u)^(4) e^v*3/4u^2 dv du $


Il secondo esercizio invece ho semplicemente detto che f(x,y) = -f(-x,y) e quindi l'integrale doveva essere 0 dato che la parte con x>0 e la parte con x>0 davano 0 sommandole.

domanda : c'è qualche trasformazione più furba? e principalmente è giusto quello che ho fatto?

[lambda1]

"TeM":allora non vedo perché si debba ricorrere ad una trasformazione (perlomeno "formale"). Infatti è presto notato che
D={(x,y)∈R2:|x|−−√3≤y≤1}=D1∪D2={(x,y)∈R2:0≤y≤1,−y3≤x≤0}∪{(x,y)∈R2:0≤y≤1,0≤x≤y3}

Adesso che ci penso hai perfettamente ragione grazie

p.s. (volendo complicarsi la vita ) il metodo che ho usato andava bene? ( a parte il fatto che mi complicavo l'esistenza )

[lambda1]

ook grazie ancora per l'aiuto