Dominio di una funzione di variabile complessa

[Seneca1]

[tex]$f(z) = \lim_{n \to \infty } \frac{z^n}{1 + z^n}$[/tex]

Il dominio è il sottoinsieme di [tex]$\mathbb{C}$[/tex] dei punti per cui il limite [tex]$\lim_{n \to \infty } \frac{z^n}{1 + z^n}$[/tex] esiste.

Scrivo in altro modo la [tex]$f$[/tex]: [tex]$f(z) = 1 - \lim_{n \to \infty } \frac{1}{1 + z^n}$[/tex]

Per [tex]$| z | < 1$[/tex] si ha che [tex]$\lim_n z^n = 0$[/tex];

per [tex]$| z | > 1$[/tex] si ha che [tex]$\lim_n z^n = \infty$[/tex];

mentre per [tex]$| z | = 1$[/tex] , non esiste [tex]$\lim_n z^n$[/tex]. Infatti, al variare di [tex]$n \in \mathbb{N}$[/tex], [tex]$z^n$[/tex] è una successione di punti sulla circonferenza unitaria, la quale non ha limite.

Ergo il dominio è [tex]$\{ z \in \mathbb{C} | |z| \ne 1 \}$[/tex]. Fin qui è corretto?

Inoltre si richiede di dare esplicitamente il valore di [tex]$f(z)$[/tex] per ciascun [tex]$z$[/tex] del dominio. Per quanto osservato prima, nei punti del piano Gauss interni al cerchio unitario, la funzione vale [tex]$0$[/tex]; sulla rimanente parte del dominio, fuori dal cerchio, vale [tex]$1$[/tex].

Grazie per le eventuali correzioni.

[gugo82]

"Seneca":mentre per [tex]$| z | = 1$[/tex] , non esiste [tex]$\lim_n z^n$[/tex]. Infatti, al variare di [tex]$n \in \mathbb{N}$[/tex], [tex]$z^n$[/tex] è una successione di punti sulla circonferenza unitaria, la quale non ha limite.

E che mi dici di [tex]$z=1$[/tex]?

[Seneca1]

Argh, è vero. Quindi bisogna tener conto che [tex]$f(1) = \frac{ 1 }{ 2 }$[/tex]. Il dominio è [tex]$\mathbb{C}$[/tex] privato della circonferenza unitaria ad eccezione del punto [tex]$z = 1$[/tex].

Ce ne sono altri che mi sono sfuggiti? Mi sembra di no...

Grazie infinite Gugo.