Dominio di una funzione di $RR^2$

[gino8x-votailprof]

Salve a tutti, avevo dei problemi a risolvere un esercizio.

Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione: $f(x,y)=arcsin((x+y-1)/(x-y+1))$

Per risolvere l'esercizio basta considerare che:${(-1<=(x+y-1)/(x-y+1)<=1),(x-y+1!=0):}$ e fin qui mi trovo con il libro.

Io ho continuato risolvendo semplicemente il sistema, mentre il libro dice che bisogna ricondursi a risolvere i due sistemi:
${(x-y+1>0),(-(x-y+1)<=x+y-1<=x-y+1):}$ ; ${(x-y+1<0),(x-y+1<=x+y-1<=-(x-y+1)):}$

E' inutile dire che, come ho proceduto io, mi sono ritrovato con mezza soluzione. C'è qualcuno che può aiutarmi a capire perchè il libro ha ragionato in quel modo?

[dissonance]

Devi fare come dice il libro perché per risolvere una disequazione fratta come $\frac{x+1-1}{x-y+1}<=1$ devi conoscere il segno del denominatore. Altrimenti come fai ad eliminarlo?

[gino8x-votailprof]

Elimino semplicemente i punti che stanno sulla retta $y=x+1$. Almeno così facevo per lo studio di funzione in $RR$.

[dissonance]

No, dico, come fai a risolvere la disequazione? La riscrivo come $\frac{P(x, y)}{Q(x, y)}<=1$ (è implicito che deve essere $Q(x, y)!=0$). Per risolverla devi "portare dall'altra parte" $Q(x, y)$, ma per fare questo devi sapere se è positivo o negativo. Infatti, se $Q(x, y)$ è positivo, allora $\frac{P(x, y)}{Q(x, y)}<=1\ iff\ P(x, y)<=Q(x, y)$; se $Q(x, y)$ è negativo, allora $\frac{P(x, y)}{Q(x, y)}<=1\ iff\ P(x, y)\ >=\ Q(x, y)$ (nota il segno di maggiore dove prima c'era il minore).
Riassumendo:
$\frac{P(x, y)}{Q(x, y)}<=1$ se e solo se ${(P(x, y)<=Q(x, y)), (Q(x, y)>0):}$ o ${(P(x, y)>=Q(x, y)), (Q(x, y)<0):}$
che mi pare quanto scritto dal tuo libro.

P.S. Ah naturalmente resta da risolvere $-1<=\frac{P(x, y)}{Q(x, y)}$, che è del tutto analogo.

[gino8x-votailprof]

Giusto, adesso ho capito. Grazie mille per l'aiuto. Per me si può anche chiudere la discussione.