Dominio di una funzione con radice e valore assoluto
Salve a tutti. Stavo calcolando il dominio della seguente funzione:
$y=sqrt(((3x-|x+4|-1)/(6-|1-x^2|)))$.
Per iniziare ho scritto le due seguenti considerazioni:
$1)$ $6-|1-x^2|!=0$
$2)$ $(3x-|x+4|-1)/(6-|1-x^2|)>=0$
Quindi:
$1)$ Consideriamo che
$|1-x^2|=1-x^2$ se $1-x^2>=0$ $hArr$ $x^2<=1$ $hArr$ $-1<=x<=1$
$|1-x^2|=-1+x^2$ se $1-x^2<0$ $hArr$ $x^2>1$ $hArr$ $x<-1 vv x>1$
Per $-1<=x<=1$ si ha: $6-1+x^2!=0$ $hArr$ $x^2!=-5$ $hArr$ $AA x in RR$
Per $x<-1 vv x>1$ si ha: $6+1-x^2!=0$ $hArr$ $x^2!=7$ $hArr$ $x!=+- sqrt(7)$.
Pertanto, affinché il denominatore sia diverso da zero ottengo che deve essere $RR - {+- sqrt(7)}$.
$2)$ Innanzitutto vedo dove i valori assoluti sono positivi, ovvero:
$|x+4|=x+4$ se $x+4>=0$ $hArr$ $x>=-4$
$|x+4|=-x-4$ se $x+4<0$ $hArr$ $x<-4$
$|1-x^2|=1-x^2$ se $1-x^2>=0$ $hArr$ $x^2<=1$ $hArr$ $-1<=x<=1$
$|1-x^2|=-1+x^2$ se $1-x^2<0$ $hArr$ $x^2>1$ $hArr$ $x<-1 vv x>1$
A questo punto considero come si comportano i valori assoluti nei seguenti intervalli:
in $(-infty,-4)$ si ha $|x+4|=-x-4$ e $|1-x^2|=-1+x^2$
ottenendo $(3x+x+4-1)/(6+1-x^2)>=0$ $rarr$ $(4x+3)/(7-x^2)>=0$, da cui si ha:
${(x>=-3/4),(-sqrt(7)
Quindi: $(-infty,-sqrt(7))uu[-3/4,sqrt(7))$.
Procedo in maniera analoga per gli altri tre (i conti li ho rifatti più volte, quindi penso di essere sicuro di quanto scriverò):
in $[-4,-1)$ si ha $|x+4|=x+4$ e $|1-x^2|=-1+x^2$, quindi
$(2x-5)/(7-x^2)>=0$ $rarr$ $(-infty,-sqrt(7))uu[5/2,sqrt(7))$.
in $[-1,1]$ si ha $|x+4|=x+4$ e $|1-x^2|=1-x^2$, quindi
$(2x-5)/(5+x^2)>=0$ $rarr$ $[5/2,+infty)$.
in $(1,+infty)$ si ha $|x+4|=x+4$ e $|1-x^2|=1-x^2$, quindi
$(2x-5)/(7-x^2)>=0$ $rarr$ $(-infty,-sqrt(7))uu[5/2,sqrt(7))$.
Avendo svolto separatamente i punti $1)$ e $2)$, che considerazioni devo fare per ottenere la soluzione per trovare il dominio della funzione? (soprattutto per il punto $2)$ dove devo considerare tutte le disequazioni sulla base dello studio dei valori assoluti).
Chiedo ciò in quanto, se metto a sistema, non ottengo il risultato scritto sul pdf da cui ho preso l'esercizio.
Il risultato è:$(-infty,-sqrt(7))uu[5/2,sqrt(7))$.
Quindi gentilmente chiedo a voi se ho mancato qualche considerazione oppure ho sbagliato dei ragionamenti (o dei passaggi).
Vi ringrazio anticipatamente.
$y=sqrt(((3x-|x+4|-1)/(6-|1-x^2|)))$.
Per iniziare ho scritto le due seguenti considerazioni:
$1)$ $6-|1-x^2|!=0$
$2)$ $(3x-|x+4|-1)/(6-|1-x^2|)>=0$
Quindi:
$1)$ Consideriamo che
$|1-x^2|=1-x^2$ se $1-x^2>=0$ $hArr$ $x^2<=1$ $hArr$ $-1<=x<=1$
$|1-x^2|=-1+x^2$ se $1-x^2<0$ $hArr$ $x^2>1$ $hArr$ $x<-1 vv x>1$
Per $-1<=x<=1$ si ha: $6-1+x^2!=0$ $hArr$ $x^2!=-5$ $hArr$ $AA x in RR$
Per $x<-1 vv x>1$ si ha: $6+1-x^2!=0$ $hArr$ $x^2!=7$ $hArr$ $x!=+- sqrt(7)$.
Pertanto, affinché il denominatore sia diverso da zero ottengo che deve essere $RR - {+- sqrt(7)}$.
$2)$ Innanzitutto vedo dove i valori assoluti sono positivi, ovvero:
$|x+4|=x+4$ se $x+4>=0$ $hArr$ $x>=-4$
$|x+4|=-x-4$ se $x+4<0$ $hArr$ $x<-4$
$|1-x^2|=1-x^2$ se $1-x^2>=0$ $hArr$ $x^2<=1$ $hArr$ $-1<=x<=1$
$|1-x^2|=-1+x^2$ se $1-x^2<0$ $hArr$ $x^2>1$ $hArr$ $x<-1 vv x>1$
A questo punto considero come si comportano i valori assoluti nei seguenti intervalli:
in $(-infty,-4)$ si ha $|x+4|=-x-4$ e $|1-x^2|=-1+x^2$
ottenendo $(3x+x+4-1)/(6+1-x^2)>=0$ $rarr$ $(4x+3)/(7-x^2)>=0$, da cui si ha:
${(x>=-3/4),(-sqrt(7)
Quindi: $(-infty,-sqrt(7))uu[-3/4,sqrt(7))$.
Procedo in maniera analoga per gli altri tre (i conti li ho rifatti più volte, quindi penso di essere sicuro di quanto scriverò):
in $[-4,-1)$ si ha $|x+4|=x+4$ e $|1-x^2|=-1+x^2$, quindi
$(2x-5)/(7-x^2)>=0$ $rarr$ $(-infty,-sqrt(7))uu[5/2,sqrt(7))$.
in $[-1,1]$ si ha $|x+4|=x+4$ e $|1-x^2|=1-x^2$, quindi
$(2x-5)/(5+x^2)>=0$ $rarr$ $[5/2,+infty)$.
in $(1,+infty)$ si ha $|x+4|=x+4$ e $|1-x^2|=1-x^2$, quindi
$(2x-5)/(7-x^2)>=0$ $rarr$ $(-infty,-sqrt(7))uu[5/2,sqrt(7))$.
Avendo svolto separatamente i punti $1)$ e $2)$, che considerazioni devo fare per ottenere la soluzione per trovare il dominio della funzione? (soprattutto per il punto $2)$ dove devo considerare tutte le disequazioni sulla base dello studio dei valori assoluti).
Chiedo ciò in quanto, se metto a sistema, non ottengo il risultato scritto sul pdf da cui ho preso l'esercizio.
Il risultato è:$(-infty,-sqrt(7))uu[5/2,sqrt(7))$.
Quindi gentilmente chiedo a voi se ho mancato qualche considerazione oppure ho sbagliato dei ragionamenti (o dei passaggi).
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Se permetti, ti propongo un metodo più pulito:
Per concludere è sufficiente il grafico del segno.
$(3x-|x+4|-1)/(6-|1-x^2|) gt= 0$
$N gt= 0 rarr$
$rarr 3x-|x+4|-1 gt= 0 rarr$
$rarr |x+4| lt= 3x-1 rarr$
$rarr \{(3x-1 gt= 0),(x+4 gt= -3x+1),(x+4 lt= 3x-1):} rarr$
$rarr \{(x gt= 1/3),(x gt= -3/4),(x gt= 5/2):} rarr$
$rarr x gt= 5/2$
$D gt 0 rarr$
$rarr 6-|1-x^2| gt 0 rarr$
$rarr |1-x^2| lt 6 rarr$
$rarr \{(1-x^2 gt -6),(1-x^2 lt 6):} rarr$
$rarr \{(x^2 lt 7),(x^2 gt -5):} rarr$
$rarr \{(-sqrt7 lt x lt sqrt7),(AA x in RR):} rarr$
$rarr -sqrt7 lt x lt sqrt7$
Per concludere è sufficiente il grafico del segno.
Ti ringrazio tanto. In effetti sono stato troppo macchinoso ed era più semplice di quanto pensavo.
Nuovamente grazie e buon ferragosto!
Nuovamente grazie e buon ferragosto!
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