Dominio di una funzione

[el_kikkos]

Salve a tutti,
ho un esercizio che mi richiede di determinare il dominio di
f(x,y)=sqrt[(log(x^2-y^2))/y^2-x]
e stabilire se è aperto/chiuso/limitato/connesso..qualcuno potrebbe darmi una mano??
grazie mille in anticipo

[Plepp]

E' questa?
\[\sqrt{\dfrac{\ln(x^2-y^2)}{y^2-x} }\]

[gio73]

Benvenuto sul forum elkikkos, è necessario che tu mostri i tuoi tentativi/ragionamenti/considerazioni diversamente sarà difficile che qualcuno ti risponda: è vietato dal regolamento.

[el_kikkos]

ah, scusatemi ma non riuscivo a scrivere in quel modo e non sapevo fosse obbligatorio, comunque sì: la funzione è quella che ha scritto plepp

[gio73]

Sì ma ancora non ci hai fatto partecipi delle tue idee...

[el_kikkos]

ok, ho letto il regolamento ora, quindi espongo quello che sono riuscito a fare e cosa mi manca: ho trovato il dominio del numeratore e del denominatore e suppongo che i segni di entrambi debbano essere concordi affinchè i valori sotto radice siano >=0. il mio problema è che mi manca proprio quest'ultimo passaggio

[gio73]

posta i tuoi passaggi: abbi cura di mettere le formule tra i segni del dollaro $, così escono fuori come quelle di plepp, si leggono meglio e gli utenti sono più involgliati a risponderti
a dopo

[el_kikkos]

ok, allora: siccome la funzione logaritmo ammette solo valori $>0$, il dominio del numeratore dovrebbe essere $x>y$. e siccome il denominatore ammette solo valori $!=0$, il suo dominio dovrebbe essere $x!=y^2$. a questo punto dovrei imporre tutta la funzione sotto la radice $>=0$, vale a dire che i segni del numeratore e del denominatore devono essere concordi: che passaggi devo fare per far sì che questa condizione sia valida??grazie in anticipo

[gio73]

bene el kikkos ora ci siamo, ora provo ad aiutarti, ma controlla bene quello che ti dico (ho già preso abbagli)

\[\sqrt{\dfrac{\ln(x^2-y^2)}{y^2-x} }\]

procediamo lentamente
sul logaritmo la ragionerei così $x^2-y^2>0$ significa che il valore assoluto di x deve essere maggiore del valore assoluto di y
1) se sono entrambi positivi x>y (I quadrante)
2) se sono entrambi negativi x 3) se x è negativo e y positivo x<-y (II quadrante)
4) se x è positivo e y negativo x>-y (IV quadrante)

Controlla bene e dimmi se ti sembra corretto, poi passiamo al disegno.

[el_kikkos]

ok, non fa una piega

[gio73]

Bene el_kikkos, ora devi partecipare: quale regione del piano $xy$ individuano queste condizioni? Fatti un disegno, io ce l'ho qua sul mio quaderno e ne parliamo, a dopo.

[el_kikkos]

allora, secondo il mio disegno le regioni del piano dovrebbere essere quelle comprese fra le 2 bisettrici $y=x$ e $y=-x$ con $|x|>|y|$, esclusa l'origine

[gio73]

Bene el kikkos, mi pare pare però che anche le bisettrici siano escluse, le bisettrici poi dividono il paino in quattro regioni, le due che a noi interessano sono quelle che contengono l'asse x, sei d'accordo?

[el_kikkos]

giustissimo, e per quanto ri guarda il dominio della funzione a numeratore $y^2-x$, essa deve essere posta $!=0$ e quindi il disegno corrisponde all'arco di parabola $y=sqrt(x)$, che è quindi da escludere nel dominio

[gio73]

Bravo el kikkos, ora dobbiamo ragionare contemporaneamente su numeratore e denominatore: se sono concordi (tutte e due positivi o tutte due negativi) allora il rapporto è positivo e ci sta bene, se sono discordi no.
Per il denominatore dimmi quando è positivo e quando è negativo?
Sarà il caso di iniziare a fare qualche disegno, a me avevano insegnato che le frontiere che non si devono considerare vanno fatte tratteggiate, poi userei un po' i colori, un aspetto policromo non rende tutto più allegro?
Per il denominatore prendi i pastelli (il colore che preferisci) e metti + nelle regioni, dove il denominatore è positivo e - dove è negativo, stai bene attento di star dentro le bisettrici, fuori la funzione non è definita; poi passiamo al numeratore. Aspetto tue notizie

[el_kikkos]

ok, l'ultima funzione che ho scritto stava a denominatore comunque, ho confuso. per quanto riguarda quindi la funzione a denominatore ($log(x^2-y^2)$) il dominio è il seguente:
-$log=0$ se $x^2-y^2=1$, rappresentato sul grafico da un iperbole che ha come punti più vicini all'origine $x=1$ e $x=-1$ e asintoti le bisettrici
-$log>0$ se $x^2-y^2>1$, che sul grafico è la regione di piano più lontana dall'origine e delimitata dall'iperbole di prima
-$log<0$ se $0

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[gio73]

Mi sembra giusto, certo con il disegno davanti sarebbe più facile! ora devi confrontare i segni del numeratore con quelli del denominatore, ti consiglio di usare colori diversi per l'uno e per l'altro. A questo punto dovresti poter individuare le regioni che costituiscono il tuo dominio (poni attenzione alle frontiere: linea tratteggiata= non inclusa, linea continua=inclusa)

L'iperbole è inclusa, la parabola e le bisettrici no.

[el_kikkos]

ok, il disegno l'ho fatto..grazie mille sei stato davvero molto gentile!
alla prossima

[gio73]

è un piacere, ma l'esercizio non è finito: come è il dominio? Aperto, chiuso, nè aperto nè chiuso, connesso, non connesso ma fatto di regioni connesse...? Mi spieghi così imparo perchè le caratteristiche topologiche mi sa che le devo capire ancora un po'.

[el_kikkos]

ci provo ma non assicuro niente: l'insieme dovrebbe essere chiuso, perchè i punti di frontiera non appartengono al dominio, non aperto, quindi; non limitato, perchè dal disegno si può vedere che lo spazio della funzione $y^2-x>0$ è infinito; e non connesso perchè al suo interno ha la funzione $y^2-x=0$ che non appartiene al dominio. ci può stare come spiegazione?

[gio73]

"el_kikkos":ci provo ma non assicuro niente

ci devi sempre provare, magari sopri che non è poi così difficile
[quote="el_kikkos"] l'insieme dovrebbe essere chiuso, perchè i punti di frontiera non appartengono al dominio, non aperto

[/quote]
a me sembra nè aperto nè chiuso perchè alcune frontiere sono incluse (l'iperbole) e altre no (parabola e bisettrici)
Ma è meglio che aspettiamo qualche conferma
Infine pensiamo un momento alla limitatezza, a me sembra non limitato perchè se prendo un disco anche grandissimo non riuscirà mai a contenere tutto il dominio, ma riflettici bene perchè sulle caratteristiche topologiche ho già toppato