Dominio di una funzione
Salve a tutti sto cercando di calcolarmi il dominio di questa funzione e ho un paio di dubbi su alcune cose...
$f(x)=(2-x-sqrt(|x-1|))/log x$
Per prima cosa devo levare il valore assoluto, e quindi avrò 2 funzioni:
Una quando $x>=1$ e l'altra quando $x<1$
${ ( (2-x-sqrt(x-1))/log x),( (2-x-sqrt(-x-1))/log x ):}$
Ora il mio dubbio è:
Posso escludere la seconda poichè entro nel campo complesso???
Se fosse cosi il dominio sarebbe $D=R-{1}$
Voi che mi dite?
$f(x)=(2-x-sqrt(|x-1|))/log x$
Per prima cosa devo levare il valore assoluto, e quindi avrò 2 funzioni:
Una quando $x>=1$ e l'altra quando $x<1$
${ ( (2-x-sqrt(x-1))/log x),( (2-x-sqrt(-x-1))/log x ):}$
Ora il mio dubbio è:
Posso escludere la seconda poichè entro nel campo complesso???
Se fosse cosi il dominio sarebbe $D=R-{1}$
Voi che mi dite?
Risposte
Se devi calcolare "solo" il dominio, puoi anche lasciar perdere - nota bene: in questo caso! - il valore assoluto.
Hai, al numeratore una radice che deve avere radicando non negativo: il valore assoluto, dunque, ti garantisce che il radicando è sempre non negativo a prescindere dai casi. Dunque il numeratore è ok, senza star troppo a pensare.
Per il denominatore devi ovviamente unire il dominio del logaritmo ed escludere eventuali punti in cui si annulla.
Ripeto. Nota bene: solo in questo caso (e in altri simili, ma non capita mai), dato che hai $\sqrt(|x-1|)$ non serve mettersi a fare casi perché il modulo per definizione restituisce una quantità non negativa. Ovvio che se oltre al dominio devi fare lo studio di funzione o altro, vanno analizzati i casi.
Ovviamente, se vuoi fare i casi anche per il dominio, fai come vuoi, nessuno te lo vieta: anzi, è meglio che usi il procedimento che sei abituato ad usare e che ti rende più sicuro. Ma stai attento qua
La seconda è
$(2-x-sqrt(-x+1))/log x $
perché per $x<1$ devi cambiare segno della quantità nel modulo (per farla essere positiva per definizione di modulo) quindi è $-(x-1)=-x+1$ non $-x-1$.
Hai, al numeratore una radice che deve avere radicando non negativo: il valore assoluto, dunque, ti garantisce che il radicando è sempre non negativo a prescindere dai casi. Dunque il numeratore è ok, senza star troppo a pensare.
Per il denominatore devi ovviamente unire il dominio del logaritmo ed escludere eventuali punti in cui si annulla.
Ripeto. Nota bene: solo in questo caso (e in altri simili, ma non capita mai), dato che hai $\sqrt(|x-1|)$ non serve mettersi a fare casi perché il modulo per definizione restituisce una quantità non negativa. Ovvio che se oltre al dominio devi fare lo studio di funzione o altro, vanno analizzati i casi.
Ovviamente, se vuoi fare i casi anche per il dominio, fai come vuoi, nessuno te lo vieta: anzi, è meglio che usi il procedimento che sei abituato ad usare e che ti rende più sicuro. Ma stai attento qua
"Frankie8":
$ { ( (2-x-sqrt(x-1))/log x),( (2-x-sqrt(-x-1))/log x ):} $
La seconda è
$(2-x-sqrt(-x+1))/log x $
perché per $x<1$ devi cambiare segno della quantità nel modulo (per farla essere positiva per definizione di modulo) quindi è $-(x-1)=-x+1$ non $-x-1$.
"Zero87":
Se devi calcolare "solo" il dominio, puoi anche lasciar perdere - nota bene: in questo caso! - il valore assoluto.
Hai, al numeratore una radice che deve avere radicando non negativo: il valore assoluto, dunque, ti garantisce che il radicando è sempre non negativo a prescindere dai casi. Dunque il numeratore è ok, senza star troppo a pensare.
Per il denominatore devi ovviamente unire il dominio del logaritmo ed escludere eventuali punti in cui si annulla.
Ripeto. Nota bene: solo in questo caso (e in altri simili, ma non capita mai), dato che hai $\sqrt(|x-1|)$ non serve mettersi a fare casi perché il modulo per definizione restituisce una quantità non negativa. Ovvio che se oltre al dominio devi fare lo studio di funzione o altro, vanno analizzati i casi.
Ovviamente, se vuoi fare i casi anche per il dominio, fai come vuoi, nessuno te lo vieta: anzi, è meglio che usi il procedimento che sei abituato ad usare e che ti rende più sicuro. Ma stai attento qua
[quote="Frankie8"]$ { ( (2-x-sqrt(x-1))/log x),( (2-x-sqrt(-x-1))/log x ):} $
La seconda è
$(2-x-sqrt(-x+1))/log x $
perché per $x<1$ devi cambiare segno della quantità nel modulo (per farla essere positiva per definizione di modulo) quindi è $-(x-1)=-x+1$ non $-x-1$.[/quote]
Ciao grazie mille per l'aiuto e per la dritta sei stato gentilissimo...l'esercizio in pratica mi chiederebbe di determinare le controimmagini e i punti di non derivabilità, posso lo stesso escludere il caso per $x<1$? Un ultima cosa se inve mi trovassi davanti a $log |x|$ ? Anche qui vale lo stesso discorso?
"Frankie8":
Ciao grazie mille per l'aiuto e per la dritta sei stato gentilissimo...l'esercizio in pratica mi chiederebbe di determinare le controimmagini e i punti di non derivabilità, posso lo stesso escludere il caso per $x<1$? Un ultima cosa se inve mi trovassi davanti a $log |x|$ ? Anche qui vale lo stesso discorso?
Prego, non c'è di che.
Quindi non è "solo" dominio e il discorso si complica (c'è da studiarsi i casi del modulo!).
Dato che parli anche di punti di non derivabilità sei dunque "costretto" a vedere i vari casi del modulo - dopo il dominio, ovvio, perché se la funzione non è definita non è nemmeno derivabile (dato che non esiste) - e vedere cosa accade nei punti limite.
In altre parole, hai che
- per $x\ge1$ la quantità nel modulo è $x-1$
- per $x<1$ la quantità nel modulo è $1-x$ (o $-x+1$ che dir si voglia)
quindi $x=1$ è un ottimo candidato ad essere un punto di non derivabilità e vanno controllati limiti destro e sinistro.
Per il resto, a parte il punto in se, devi comunque fare i casi del modulo - dato che mi dici che non si parla di solo dominio - e vedere se nei sottointervalli trovati (quelli dei casi del modulo) la funzione è derivabile o meno.
Per l'ultima questione, cioè per il $log|x|$, hai che l'argomento del logaritmo è sempre non negativo: per il dominio del logaritmo devi dunque escludere $x=0$ ma, dato che sei al denominatore, vanno tolti anche i $x=\pm 1$.
"Zero87":
[quote="Frankie8"]Ciao grazie mille per l'aiuto e per la dritta sei stato gentilissimo...l'esercizio in pratica mi chiederebbe di determinare le controimmagini e i punti di non derivabilità, posso lo stesso escludere il caso per $x<1$? Un ultima cosa se inve mi trovassi davanti a $log |x|$ ? Anche qui vale lo stesso discorso?
Prego, non c'è di che.
Quindi non è "solo" dominio e il discorso si complica (c'è da studiarsi i casi del modulo!).
Dato che parli anche di punti di non derivabilità sei dunque "costretto" a vedere i vari casi del modulo - dopo il dominio, ovvio, perché se la funzione non è definita non è nemmeno derivabile (dato che non esiste) - e vedere cosa accade nei punti limite.
In altre parole, hai che
- per $x\ge1$ la quantità nel modulo è $x-1$
- per $x<1$ la quantità nel modulo è $1-x$ (o $-x+1$ che dir si voglia)
quindi $x=1$ è un ottimo candidato ad essere un punto di non derivabilità e vanno controllati limiti destro e sinistro.
Per il resto, a parte il punto in se, devi comunque fare i casi del modulo - dato che mi dici che non si parla di solo dominio - e vedere se nei sottointervalli trovati (quelli dei casi del modulo) la funzione è derivabile o meno.
Per l'ultima questione, cioè per il $log|x|$, hai che l'argomento del logaritmo è sempre non negativo: per il dominio del logaritmo devi dunque escludere $x=0$ ma, dato che sei al denominatore, vanno tolti anche i $x=\pm 1$.[/quote]
Grazie per la pazienza, sei stato molto completo nel spiegarmi le cose
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