Dominio di una forma differenziale
Ciao a tutti,
Il problema che vi porrò è il seguente: quando mi trovo un esercizio sulle forme differenziali la prima cosa da fare è vedere se il dominio è semplicemente connesso e se la forma è chiusa e quindi esatta; ora, se il dominio non è un aperto connesso devo dimostrare che esatta facendo l'integrale curvilineo su una qualsiasi curva e vedere se è 0, se è così è esatta altrimenti non lo è e quindi non è possibile calcolare la primitiva. Ma la mia domanda è: c'è un modo per scegliere la curva nel caso in cui si debba dimostrare l'esattezza?
L'esercizio che mi trovo ad affrontare è il seguente:
$\omega=[log[1+(y^2/x^2)]-[(2y^2)/(x^2+y^2)]]dx+[2xy/(x^2+y^2)]dy$
Grazie a tutti in anticipo
Il problema che vi porrò è il seguente: quando mi trovo un esercizio sulle forme differenziali la prima cosa da fare è vedere se il dominio è semplicemente connesso e se la forma è chiusa e quindi esatta; ora, se il dominio non è un aperto connesso devo dimostrare che esatta facendo l'integrale curvilineo su una qualsiasi curva e vedere se è 0, se è così è esatta altrimenti non lo è e quindi non è possibile calcolare la primitiva. Ma la mia domanda è: c'è un modo per scegliere la curva nel caso in cui si debba dimostrare l'esattezza?
L'esercizio che mi trovo ad affrontare è il seguente:
$\omega=[log[1+(y^2/x^2)]-[(2y^2)/(x^2+y^2)]]dx+[2xy/(x^2+y^2)]dy$
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Ciao TeM, grazie per la risosta e il ben iscritta 
.
Scusa ma non ho ben capito come calcolare questo $eta$, cioè quando calcolo una primitiva la devo fare per tutto $omega$ (cioè sia dx sia dy)? e poi come fai a dire che la $eta$ che hai trovato soddisfa entrambe le richieste e in particolare la seconda?
Scusa per la mia ignoranza, non ho mai visto questo metodo per questo chiedo informazioni
grazie ancora!
.Scusa ma non ho ben capito come calcolare questo $eta$, cioè quando calcolo una primitiva la devo fare per tutto $omega$ (cioè sia dx sia dy)? e poi come fai a dire che la $eta$ che hai trovato soddisfa entrambe le richieste e in particolare la seconda?
Scusa per la mia ignoranza, non ho mai visto questo metodo per questo chiedo informazioni
grazie ancora!
Grazie mille!!!! 
sei stato molto chiaro! unico dubbio:
$omega$ perché non è definita in $A={(x,y)in\mathbb{R}^2: x ≠ 0 , y ≠ 0 }$ ?
sei stato molto chiaro! unico dubbio:
$omega$ perché non è definita in $A={(x,y)in\mathbb{R}^2: x ≠ 0 , y ≠ 0 }$ ?
ah certo!!! grazie ancora per la pazienza! gentilissimo!
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