Dominio di potenze
Salve a tutti,
non ho ben chiaro il concetto di dominio di potenza per quanto riguarda alcuni casi particolari; ad esempio faccio un pò di confusione sul fatto di porre la base positiva o uguale a zero. Non so bene quando questa condizione deve essere verificata. La mia insegnante mi ha detto che devo porre la condizione suddetta nel momento in cui l'esponente è irrazionale o quando la traccia dell'esercizio mi sottolinea che ci si sta riferendo a funzioni di variabili reali, potete chiarirmi meglio questo dubbio?
non ho ben chiaro il concetto di dominio di potenza per quanto riguarda alcuni casi particolari; ad esempio faccio un pò di confusione sul fatto di porre la base positiva o uguale a zero. Non so bene quando questa condizione deve essere verificata. La mia insegnante mi ha detto che devo porre la condizione suddetta nel momento in cui l'esponente è irrazionale o quando la traccia dell'esercizio mi sottolinea che ci si sta riferendo a funzioni di variabili reali, potete chiarirmi meglio questo dubbio?
Risposte
Secondo me è meglio ragionare caso per caso e non andare troppo mnemonicamente. Prova a postare qualcosa...
Il tuo problema, mi sembra di capire sono i numeri negativi elevati a potenza, cioè: $x^y$, $x<0$.
Allora, facciamo il caso generale dunque $x^y$ , $ (x,y) \in RR$
- $x>0$
Qui problemi non ce ne sono, quindi abbiamo già risolto il 50% dei nostri guai
. Andiamo avanti
- $y<0$
Questo lo risolviamo brillantemente cosi $x^{y} = 1/{x^{-y}}$. Un'altra fetta di numeri messa a posto.
Rimane il temibile:
- $x<0, y<0$
Qui sembra che non ci sia speranza. Però se $y \in QQ$, forse riusciamo a fare qualcosa.
Se $y \in QQ$, allora possiamo parlare di [tex]x^{m/n} = (\sqrt[n]x)^m[/tex]. m,n sono primi tra di loro.
Il nostro problema è la ben nota radice quadrata di un negativo. Per cui se n=2, non c'è speranza.
Anche n multiplo di due da poche speranze, perchè la nostra potenza diventa [tex](\sqrt[n/2]{\sqrt x})^m[/tex]
e dobbiamo ancora fare la radice quadrata di un negativo.
Quindi abbiamo:
-- n pari... la potenza non esiste non si può calcolare
-- n dispari la potenza di può calcolare. Se m è pari, allora il risultato sarà positivo. m dispari, risultato negativo.
E se n e m sono pari ? Potrei fare $x^m$ e viene un positivo, quindi faccio la radice quadrata.
Ma non è corretto, perchè ?
Poi rimangono fuori "un po'" di numeri, cioè $RR\\QQ$. Per questi non c'è niente da fare e la potenza non esiste.
Allora, facciamo il caso generale dunque $x^y$ , $ (x,y) \in RR$
- $x>0$
Qui problemi non ce ne sono, quindi abbiamo già risolto il 50% dei nostri guai
. Andiamo avanti- $y<0$
Questo lo risolviamo brillantemente cosi $x^{y} = 1/{x^{-y}}$. Un'altra fetta di numeri messa a posto.
Rimane il temibile:
- $x<0, y<0$
Qui sembra che non ci sia speranza. Però se $y \in QQ$, forse riusciamo a fare qualcosa.
Se $y \in QQ$, allora possiamo parlare di [tex]x^{m/n} = (\sqrt[n]x)^m[/tex]. m,n sono primi tra di loro.
Il nostro problema è la ben nota radice quadrata di un negativo. Per cui se n=2, non c'è speranza.
Anche n multiplo di due da poche speranze, perchè la nostra potenza diventa [tex](\sqrt[n/2]{\sqrt x})^m[/tex]
e dobbiamo ancora fare la radice quadrata di un negativo.
Quindi abbiamo:
-- n pari... la potenza non esiste non si può calcolare
-- n dispari la potenza di può calcolare. Se m è pari, allora il risultato sarà positivo. m dispari, risultato negativo.
E se n e m sono pari ? Potrei fare $x^m$ e viene un positivo, quindi faccio la radice quadrata.
Ma non è corretto, perchè ?
Poi rimangono fuori "un po'" di numeri, cioè $RR\\QQ$. Per questi non c'è niente da fare e la potenza non esiste.
Buondi'
vi propongo un esperimento, provate a calcolare: 0^0 e (-1)^(1/3) con una calcolatrice scientifica e con questi due sistemi di calcolo:
http://www.univie.ac.at/future.media/mo ... intro.html
(la sintassi per $x^y$ qui e' $\text{pow}(x,y)$)
http://www.wolframalpha.com/
e confrontate e risultati...
Provo a spiegare cosa succede ricordando come si definisce la funzione potenza (reale di due variabili reali)
\((x,y)\mapsto P(x,y)="x^y"\) (dove $x^y$ e' il simbolo da definire).
(A) Iniziamo col definire il simbolo $x^y$ per $y\in\ZZ$ ed $x\ne 0$, allora:\[x^0:=1,\quad x^1:=x,\quad x^{-1}:=\frac{1}{x}\text{ (l'inverso di) }x,\quad \text{ e }\quad x^y:=\begin{cases}\underbrace{x\cdot ... \cdot x}_{y\text{ volte }}\text{ se }y>0\\ \underbrace{x^{-1}\cdot ... \cdot x^{-1}}_{-y\text{ volte }}\text{ se }y<0\end{cases}\]
Volendo si puo' anche definire \(0^0:=1\), come fanno la maggior parte dei sistemi di calcolo simbolico, la maggior parte dei testi di algebra (fra cui Bourbaki) e qualche (pochi) testo di analisi (ad esempio Caligaris-Oliva); di solito, per una buona ragione, gli analisti (Apostol, Barozzi-Mataraso, De Marco, Fedele, Girardi, Marcellini-Sbordone, Pagani-Salsa, etc.) preferiscono non dare significato al simbolo $0^0$ (vedi domanda-sulle-potenze-t84910.html).
(B) Sia ora $y\in\mathbb R\setminus\mathbb \ZZ$ ed $x>0$, distinguiamo in casi: $y\in\mathbb Q\setminus\mathbb \ZZ$ ed $y\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ (ad esempio: $y=frac{1}{2}\in \mathbb Q$ ed $y\in\{\sqrt{2},e,\pi,\gamma,...\}\subseteq \mathbb R\setminus\mathbb Q$), allora:
(B.1) $x>0$ ed $y=\frac{p}{q}\in\QQ\setminus\mathbb \ZZ$, dove possiamo sempre supporre che sia $q\in\mathbb N,\; q>0$, allora \(x^y:=\sqrt[q]{x^p}\) e' l'unica soluzione reale non negativa dell'equazione dell'equazione $t^q=x^p$ nell'incognita reale $t$ (cioe' la cosiddetta radice aritmetica); essa esiste per la proprieta' di completezza dell'insieme dei numeri reali. E' opportuno fare qui alcune osservazioni:
a) \(\sqrt[q]{x^p}={\sqrt[q]{x}}^p\);
b) $x^{\frac{p}{q}}=x^{\frac{np}{nq}}$ per ogni numero naturale positivo ($n\in\mathbb N,\; n>1$), questo assicura che il simbolo $x^{\frac{p}{q}}$ e' ben definito e rende la nuova definizione consistente con la precedente per $y\in\ZZ$;
c) se $x>1$ allora: \(x^y=\text{sup}\{x^r\mid r\in\mathbb Q,\; r1$.
(B.2) L'ultima osservazione permette di estendere la definizione, nel caso $x>0$ e $y\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$, ponendo: \[x^y:=\begin{cases}\text{sup}\{x^r\mid r\in\mathbb Q,\; r1\\1\qquad\text{ se }x=1 \\ \left(\frac{1}{x}\right)^{-y}\quad\text{ se }0
(C) Infine, si pone \(0^y:=0\) per ogni \(y\in\mathbb R,\; y>0\).
Mettendo tutto insieme resta definita la funzione reale di due variabili reali \[P\colon\quad (x,y)\in D\quad\mapsto\quad P(x,y):= x^y\in \mathbb R \] il cui dominio naturale e' quindi: \[D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid (x>0)\text{ oppure } (x<0, y\in \mathbb Z, y\ne 0)\text{ oppure }(x=0, y>0)\}\] ovvero l'unione del semipiano aperto formato dal primo e quarto quadrante del piano cartesiano con il semiasse delle ordinate positive ($x=0,y>0$), delle rette orizzontali ad ordinata intera e positiva $y$, e delle semirette orizzontali ad ordinata $y$ intera e non positiva (prive dell'origine $(0,y)$).
Osservo esplicitamente che cosi' non si da' significato a simboli del tipo \((-1)^{\frac{1}{3}}\), pur essendo \(\sqrt[3]{-1}=-1\), almeno come radici reali.
La definizione si potrebbe dare (ed a volte si da', per esempio Bramanti-Pagani-Salsa) anche nel caso $x<0$ ed $y\in \mathbb Q$ richiedendo che la rappresentazione $y=\frac{p}{q}\in\QQ\setminus\mathbb \ZZ$ con $q\in\mathbb N,\; q>0$ sia anche ridotta ai minimi termini e che $q$ sia dispari. Tuttavia l'enunciazione delle usuali proprieta' delle potenze diventa un po' piu' "impegnativa"; e infatti spesso questa definizione non si da' (De Marco, Marcellini-Sbordone, Pagani-Salsa (1990), etc.).
Una proprieta' molto importante della funzione $P$ cosi' ottenuta e' che essa e' continua in tutto il suo dominio. Il fatto che \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)^{g(x)}={\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)}^{\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)}\) quando i limiti $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ ed $\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)$ esistono finiti e non sono entrambi nulli si lega a questo fatto.
Si noti che definendo \(P(0,0)=0^0:=1\) non si ottiene una funzione continua in $(0,0)$ perche' \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}x^y\quad\text{non esiste}\) (a prescindere da come si definisca il valore $P(0,0)$: la funzione $P$ non si puo' estendere per continuita' in $(0,0)$). Ed ecco perche' \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)^{g(x)}\) e' una forma di indecisione (o "indeterminata") quando $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=0$.
Un ultima osservazione riguardo a
Attrezzi quali $(-1)^{\frac{1}{3}}$ e $(-\pi)^{\pi}$ esistono, sono numeri complessi, spesso non reali:
se $a\in CC\\\{0\}$ e $b\in CC$ una determinazione della potenza $a^b$ e' un numero complesso della forma $w=\text{exp}_CC (bz)$ dove $z\in CC$ e' un logaritmo complesso di a, cioe' $exp_CC (z)=a$. Tutte le determinazioni di $a^b$ sono quindi date dalla formula \[w_k=\text{exp}_{\mathbb C} (b(\text{ln}|a|+i\text{Arg}(a)+2k\pi i))\quad (k\in \mathbb Z)\] dove $\text{Arg}$ e' l'argomento principale (di un numero complesso) ed $\text{exp}_CC$ e' l'esponenziale complesso (definito come \(\text{exp}_{\mathbb C}(u+iv):=e^u(\text{cos}(v)+i\text{sen}(v))\) per ogni $(u,v)\in RR^2$). Ecco il perche' del buffo risultato di http://www.wolframalpha.com/ su $(-1)^\frac{1}{3}$.
Non ho ricontrollato tutto, possono esserci errori, spero cmq che sia di qualche utilita'...
Saluti,
Alessio
vi propongo un esperimento, provate a calcolare: 0^0 e (-1)^(1/3) con una calcolatrice scientifica e con questi due sistemi di calcolo:
http://www.univie.ac.at/future.media/mo ... intro.html
(la sintassi per $x^y$ qui e' $\text{pow}(x,y)$)
http://www.wolframalpha.com/
e confrontate e risultati...
Provo a spiegare cosa succede ricordando come si definisce la funzione potenza (reale di due variabili reali)
\((x,y)\mapsto P(x,y)="x^y"\) (dove $x^y$ e' il simbolo da definire).
(A) Iniziamo col definire il simbolo $x^y$ per $y\in\ZZ$ ed $x\ne 0$, allora:\[x^0:=1,\quad x^1:=x,\quad x^{-1}:=\frac{1}{x}\text{ (l'inverso di) }x,\quad \text{ e }\quad x^y:=\begin{cases}\underbrace{x\cdot ... \cdot x}_{y\text{ volte }}\text{ se }y>0\\ \underbrace{x^{-1}\cdot ... \cdot x^{-1}}_{-y\text{ volte }}\text{ se }y<0\end{cases}\]
Volendo si puo' anche definire \(0^0:=1\), come fanno la maggior parte dei sistemi di calcolo simbolico, la maggior parte dei testi di algebra (fra cui Bourbaki) e qualche (pochi) testo di analisi (ad esempio Caligaris-Oliva); di solito, per una buona ragione, gli analisti (Apostol, Barozzi-Mataraso, De Marco, Fedele, Girardi, Marcellini-Sbordone, Pagani-Salsa, etc.) preferiscono non dare significato al simbolo $0^0$ (vedi domanda-sulle-potenze-t84910.html).
(B) Sia ora $y\in\mathbb R\setminus\mathbb \ZZ$ ed $x>0$, distinguiamo in casi: $y\in\mathbb Q\setminus\mathbb \ZZ$ ed $y\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$ (ad esempio: $y=frac{1}{2}\in \mathbb Q$ ed $y\in\{\sqrt{2},e,\pi,\gamma,...\}\subseteq \mathbb R\setminus\mathbb Q$), allora:
(B.1) $x>0$ ed $y=\frac{p}{q}\in\QQ\setminus\mathbb \ZZ$, dove possiamo sempre supporre che sia $q\in\mathbb N,\; q>0$, allora \(x^y:=\sqrt[q]{x^p}\) e' l'unica soluzione reale non negativa dell'equazione dell'equazione $t^q=x^p$ nell'incognita reale $t$ (cioe' la cosiddetta radice aritmetica); essa esiste per la proprieta' di completezza dell'insieme dei numeri reali. E' opportuno fare qui alcune osservazioni:
a) \(\sqrt[q]{x^p}={\sqrt[q]{x}}^p\);
b) $x^{\frac{p}{q}}=x^{\frac{np}{nq}}$ per ogni numero naturale positivo ($n\in\mathbb N,\; n>1$), questo assicura che il simbolo $x^{\frac{p}{q}}$ e' ben definito e rende la nuova definizione consistente con la precedente per $y\in\ZZ$;
c) se $x>1$ allora: \(x^y=\text{sup}\{x^r\mid r\in\mathbb Q,\; r
(B.2) L'ultima osservazione permette di estendere la definizione, nel caso $x>0$ e $y\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$, ponendo: \[x^y:=\begin{cases}\text{sup}\{x^r\mid r\in\mathbb Q,\; r
(C) Infine, si pone \(0^y:=0\) per ogni \(y\in\mathbb R,\; y>0\).
Mettendo tutto insieme resta definita la funzione reale di due variabili reali \[P\colon\quad (x,y)\in D\quad\mapsto\quad P(x,y):= x^y\in \mathbb R \] il cui dominio naturale e' quindi: \[D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid (x>0)\text{ oppure } (x<0, y\in \mathbb Z, y\ne 0)\text{ oppure }(x=0, y>0)\}\] ovvero l'unione del semipiano aperto formato dal primo e quarto quadrante del piano cartesiano con il semiasse delle ordinate positive ($x=0,y>0$), delle rette orizzontali ad ordinata intera e positiva $y$, e delle semirette orizzontali ad ordinata $y$ intera e non positiva (prive dell'origine $(0,y)$).
Osservo esplicitamente che cosi' non si da' significato a simboli del tipo \((-1)^{\frac{1}{3}}\), pur essendo \(\sqrt[3]{-1}=-1\), almeno come radici reali.
La definizione si potrebbe dare (ed a volte si da', per esempio Bramanti-Pagani-Salsa) anche nel caso $x<0$ ed $y\in \mathbb Q$ richiedendo che la rappresentazione $y=\frac{p}{q}\in\QQ\setminus\mathbb \ZZ$ con $q\in\mathbb N,\; q>0$ sia anche ridotta ai minimi termini e che $q$ sia dispari. Tuttavia l'enunciazione delle usuali proprieta' delle potenze diventa un po' piu' "impegnativa"; e infatti spesso questa definizione non si da' (De Marco, Marcellini-Sbordone, Pagani-Salsa (1990), etc.).
Una proprieta' molto importante della funzione $P$ cosi' ottenuta e' che essa e' continua in tutto il suo dominio. Il fatto che \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)^{g(x)}={\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)}^{\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)}\) quando i limiti $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ ed $\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)$ esistono finiti e non sono entrambi nulli si lega a questo fatto.
Si noti che definendo \(P(0,0)=0^0:=1\) non si ottiene una funzione continua in $(0,0)$ perche' \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}x^y\quad\text{non esiste}\) (a prescindere da come si definisca il valore $P(0,0)$: la funzione $P$ non si puo' estendere per continuita' in $(0,0)$). Ed ecco perche' \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)^{g(x)}\) e' una forma di indecisione (o "indeterminata") quando $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=0$.
Un ultima osservazione riguardo a
"Quinzio":
Poi rimangono fuori "un po'" di numeri, cioè $RR\\QQ$. Per questi non c'è niente da fare e la potenza non esiste.
Attrezzi quali $(-1)^{\frac{1}{3}}$ e $(-\pi)^{\pi}$ esistono, sono numeri complessi, spesso non reali:
se $a\in CC\\\{0\}$ e $b\in CC$ una determinazione della potenza $a^b$ e' un numero complesso della forma $w=\text{exp}_CC (bz)$ dove $z\in CC$ e' un logaritmo complesso di a, cioe' $exp_CC (z)=a$. Tutte le determinazioni di $a^b$ sono quindi date dalla formula \[w_k=\text{exp}_{\mathbb C} (b(\text{ln}|a|+i\text{Arg}(a)+2k\pi i))\quad (k\in \mathbb Z)\] dove $\text{Arg}$ e' l'argomento principale (di un numero complesso) ed $\text{exp}_CC$ e' l'esponenziale complesso (definito come \(\text{exp}_{\mathbb C}(u+iv):=e^u(\text{cos}(v)+i\text{sen}(v))\) per ogni $(u,v)\in RR^2$). Ecco il perche' del buffo risultato di http://www.wolframalpha.com/ su $(-1)^\frac{1}{3}$.
Non ho ricontrollato tutto, possono esserci errori, spero cmq che sia di qualche utilita'...
Saluti,
Alessio
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