Dominio di f(x,y)
Dovrei calcolarmi il dominio di f(x,y) ma non ho capito come devo operare...
Ad es. ho una funzione: f (x, y ) = radice di ((2x^2 + 2y^ 2 − 3)(1 − y^ 2))
Dovrà essere (2x^2 + 2y^ 2 − 3)(1 − y^ 2)>=0 . La curva di equazione 2x^2 +2y^ 2 −3 = 0 è una circonferenza. La curva di equazione 1 − y^2 = 0 e una coppia di parallele y=1 y=-1
Ora disegno sul piano cartesiano una circonferenza e la coppia di parallele.
Fino a Qui ci sono... il problema è che non ho capito dove la funzione è definita... come dovrei fare? In alcuni esempi ci sono delle parti di piano evidenziate... come faccio a capire dove la funz. è definita e dove non lo è?
Grazie!
Ad es. ho una funzione: f (x, y ) = radice di ((2x^2 + 2y^ 2 − 3)(1 − y^ 2))
Dovrà essere (2x^2 + 2y^ 2 − 3)(1 − y^ 2)>=0 . La curva di equazione 2x^2 +2y^ 2 −3 = 0 è una circonferenza. La curva di equazione 1 − y^2 = 0 e una coppia di parallele y=1 y=-1
Ora disegno sul piano cartesiano una circonferenza e la coppia di parallele.
Fino a Qui ci sono... il problema è che non ho capito dove la funzione è definita... come dovrei fare? In alcuni esempi ci sono delle parti di piano evidenziate... come faccio a capire dove la funz. è definita e dove non lo è?
Grazie!
Risposte
La funzione è definita dove tutta quella roba è maggiore o uguale a zero. È uguale a zero sulla circonferenza e sulle due rette. Per vedere dove è positiva vedi che il primo termine è positivo fuori dalla circonferenza e negativo dentro. Il secondo termine è positivo nella zona compresa fra le rette e negativo altrove. Studiando il segno complessivo trovi che il dominio è la zona esterna alle due rette ma dentro la circonferenza (ho fatto il disegno velocemente, ma penso che il dominio sia proprio questo...).
"Tipper":
La funzione è definita dove tutta quella roba è maggiore o uguale a zero. È uguale a zero sulla circonferenza e sulle due rette. Per vedere dove è positiva vedi che il primo termine è positivo fuori dalla circonferenza e negativo dentro. Il secondo termine è positivo nella zona compresa fra le rette e negativo altrove. Studiando il segno complessivo trovi che il dominio è la zona esterna alle due rette ma dentro la circonferenza (ho fatto il disegno velocemente, ma penso che il dominio sia proprio questo...).
Scusa, ma come faccio a capire che il primo termine è è positivo fuori dalla circonferenza e negativo dentro e che il secondo termine è positivo nella zona compresa fra le rette e negativo altrove. Potresti dirmi il procedimento (step by step) che devo fare?
Grazie!
Il primo termine si annulla sulla circonferenza. Se lo calcoli nell'origine fa $-3$, quindi è negativo, di conseguenza la parte interna sarà negativa e quella esterna sarà positiva, puoi fare lo stesso giochino con le rette. Il metodo più intuitivo, per vedere quale parte sia positiva e quale sia negativa, infatti è quello di prendere un punto di prova.
premesso che il disegno che ho fatto è orripilante perchè a questo pc non ho programmi di grafica adatti, ma credo che il dominio sia questo:
http://it.geocities.com/lauratodisco/dominio.JPG
http://it.geocities.com/lauratodisco/dominio.JPG
È vero, avevo lasciato un pezzo (anzi due 
).
).
ok.... grazie 1000...
Ti chiedo un'altra cosa... per chiarirmi le idee
Allora, in un esercizio ho come C.E un sistema con y-x^2>=0 e 4-x^2-y^2>0
quindi ho y>=x^2 e x^2+y^2<4
si deduce che di ho una circonferenza e una parabola...
poi, trova il punto A(0,1) come ha fatto a trovarlo?
dopodichè mette y>=x^0 => 1>=0 (vero)
x^2+y^2<4 (c'è scritto sostituisco zero che è un valore comodo => che significa?)
0+0< 4 Vero
Potresti spiegarmi come ha fatto questo caso?
in genere, si sostituisce sempre con l'origine (0,0)?
Ti chiedo un'altra cosa... per chiarirmi le idee
Allora, in un esercizio ho come C.E un sistema con y-x^2>=0 e 4-x^2-y^2>0
quindi ho y>=x^2 e x^2+y^2<4
si deduce che di ho una circonferenza e una parabola...
poi, trova il punto A(0,1) come ha fatto a trovarlo?
dopodichè mette y>=x^0 => 1>=0 (vero)
x^2+y^2<4 (c'è scritto sostituisco zero che è un valore comodo => che significa?)
0+0< 4 Vero
Potresti spiegarmi come ha fatto questo caso?
in genere, si sostituisce sempre con l'origine (0,0)?
Il punto di prova più semplice da scegliere è l'origine, tuttavia non sempre lo si può scegliere. Nel tuo esempio sceglie (1,0) come punto di prova per la parabola perché in (0,0) la parabola si annulla, e non si savrebbe avuto nessuna informazione.
Intendiamoci, se sceglieva (2,0) non sarebbe cambiato nulla...
Nel caso di $x^2+y^2<4$ si può scegliere l'origine, in quanto non appartiene alla circonferenza. Il fatto di essere un valore comodo significa fare meno calcoli dopo una sua sostituzione.
Intendiamoci, se sceglieva (2,0) non sarebbe cambiato nulla...
Nel caso di $x^2+y^2<4$ si può scegliere l'origine, in quanto non appartiene alla circonferenza. Il fatto di essere un valore comodo significa fare meno calcoli dopo una sua sostituzione.
ok... Ho ancora qualche domanda (scusa se ti rompo ancora... ma volevo chiarirmo un pò le idee! )
1) Data la diseq. x^2+y^2 < 4
Se io prendessi come punto di prova il punto (0,0) e sostituisco otterrei una disuguaglianza vera. Però, se sostituissi con un altro punto ad es. (3,0), otterrei una dusuguaglianza falsa... il disegno cambierebbe? Quale punto dovrei scegliere tra i due?
2) in definitiva, quando la disuguaglianza è vera la parte interna è positiva e quella esterna negativa. Quando la disuguaglianza è falsa la parte int. negativa e quella esterna positiva?
Giusto?
Ma nel caso di una retta, come faccio a capire qual è la parte int. e esterna?
3) Ho un'esercizio.... di questo tipo f(x,y)=ln ((y+2)*(y-x^2-4x))
Avrei (y+2)*(y-x^2-4x)>0
quindi:
y>2 Retta (1)
y>x^2+4x Parabola (2)
a questo punto mi calcolo il vertice della parabola v=(-b/2a;-delta/4a)= -2;-16
Si deduce che passa dall'origine perchè se sostituisco la (2) verrebbe 0=0
A questo punto disegno la parabola e la retta...! Fino a qui ci sono però, quello che non riesco a capire è come faccio a "evidenziare" la parte del dominio sul grafico!
Potresti scrivermi il procedimento con la sostituzione che dovrei fare il questo caso?
4) Conosci qualche sito dove mette degli esempi o teoria dei domini risolti graficamente?
Grazie ancora!
)1) Data la diseq. x^2+y^2 < 4
Se io prendessi come punto di prova il punto (0,0) e sostituisco otterrei una disuguaglianza vera. Però, se sostituissi con un altro punto ad es. (3,0), otterrei una dusuguaglianza falsa... il disegno cambierebbe? Quale punto dovrei scegliere tra i due?
2) in definitiva, quando la disuguaglianza è vera la parte interna è positiva e quella esterna negativa. Quando la disuguaglianza è falsa la parte int. negativa e quella esterna positiva?
Giusto?
Ma nel caso di una retta, come faccio a capire qual è la parte int. e esterna?
3) Ho un'esercizio.... di questo tipo f(x,y)=ln ((y+2)*(y-x^2-4x))
Avrei (y+2)*(y-x^2-4x)>0
quindi:
y>2 Retta (1)
y>x^2+4x Parabola (2)
a questo punto mi calcolo il vertice della parabola v=(-b/2a;-delta/4a)= -2;-16
Si deduce che passa dall'origine perchè se sostituisco la (2) verrebbe 0=0
A questo punto disegno la parabola e la retta...! Fino a qui ci sono però, quello che non riesco a capire è come faccio a "evidenziare" la parte del dominio sul grafico!
Potresti scrivermi il procedimento con la sostituzione che dovrei fare il questo caso?
4) Conosci qualche sito dove mette degli esempi o teoria dei domini risolti graficamente?
Grazie ancora!
solo un piccolo commento a quanto detto fin qui, perché non mi pare sia stato messo in evidenza che:
la base teorica che giustifica questi metodi (prendo un punto "qui", un punto "là") è il teorema degli zeri, applicato a funzioni di due variabili che siano continue
la base teorica che giustifica questi metodi (prendo un punto "qui", un punto "là") è il teorema degli zeri, applicato a funzioni di due variabili che siano continue
"andrew_":
1) Data la diseq. x^2+y^2 < 4
Se io prendessi come punto di prova il punto (0,0) e sostituisco otterrei una disuguaglianza vera. Però, se sostituissi con un altro punto ad es. (3,0), otterrei una dusuguaglianza falsa... il disegno cambierebbe? Quale punto dovrei scegliere tra i due?
(0,0) è un punto interno alla circonferenza, vuol dire che dentro al cerchio quella disequazione è verificata. (3,0) è un punto esterno alla circofnerenza, vuol dire che fuori dal cerchio la disequazione non è verificata.
"andrew_":
2) in definitiva, quando la disuguaglianza è vera la parte interna è positiva e quella esterna negativa. Quando la disuguaglianza è falsa la parte int. negativa e quella esterna positiva?
Giusto?
Ma nel caso di una retta, come faccio a capire qual è la parte int. e esterna?
Nel caso di una retta il piano viene diviso in due semipiani, in un semipiano sarà soddisfatta, nell'altro no (di solito).
"andrew_":
3) Ho un'esercizio.... di questo tipo f(x,y)=ln ((y+2)*(y-x^2-4x))
Avrei (y+2)*(y-x^2-4x)>0
quindi:
y>2 Retta (1)
y>x^2+4x Parabola (2)
a questo punto mi calcolo il vertice della parabola v=(-b/2a;-delta/4a)= -2;-16
Si deduce che passa dall'origine perchè se sostituisco la (2) verrebbe 0=0
A questo punto disegno la parabola e la retta...! Fino a qui ci sono però, quello che non riesco a capire è come faccio a "evidenziare" la parte del dominio sul grafico!
Potresti scrivermi il procedimento con la sostituzione che dovrei fare il questo caso?
Ho fatto un po' di disegni con Paint (dico Paint!!!) e mi è venuto uno schifo... penso però che siano lo stesso comprensibili...
Devi studiare il primo termine maggiore di zero, cioè $y>(-2)$, e la zona in cui questa è vera è:
Il secondo termine è positivo quando $y>x^2+4x$, cioè in questa zona:
Quello che volevi studiare te è un prodotto, tale prodotto sarà positivo dove entrambi i termini sono positivi o dove entrambi sono negativi, sarà negativo altrove, quindi il dominio è dato da questa zona:
PS: Scusa ancora per la bruttura dei disegni...
"andrew_":
4) Conosci qualche sito dove mette degli esempi o teoria dei domini risolti graficamente?
Su matematicamente non hai trovato niente?
grazie sei stato molto chiaro...! No, non ho trovato niente... magari dopo controllo meglio!
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