Dominio di funzioni in due variabili
salve a tutti.ho appena iniziato lo studio dell'analisi matematica in due variabili e ho un problema nel trovare il dominio di funzioni:
se ho la funzione $sqrt(x+y)/sqrt(2x+y)$ qual è il suo dominio?
so che sicuramente la funzione non è definita sulla retta y=-2x però non riesco a fare lo studio dei segni delle funzioni x+y e 2x+y.
se ho la funzione $sqrt(x+y)/sqrt(2x+y)$ qual è il suo dominio?
so che sicuramente la funzione non è definita sulla retta y=-2x però non riesco a fare lo studio dei segni delle funzioni x+y e 2x+y.
Risposte
basta considerare che ogni retta divide il piano in due semipiani: sulla retta il valore della "funzione" è zero, in uno dei due semipiani il segno è positivo e nell'altro è negativo. dunque mettendo a sistema le due disequazioni avrai come soluzione un angolo (compreso un lato senza l'origine, escluso l'altro lato).
è chiaro? sei in grado di dire quale angolo va considerato?
è chiaro? sei in grado di dire quale angolo va considerato?
allora io ho disegnato le due rette e ho individuato i due semipiani.devo vedere dove sono entrambi positivi:
se x>0 e y>0 sono entrambi positivi
se x<0 e y>0 per essere positivi deve essere y>-2x oppure y<-x
se x<0 e y<0 sono negativi tutti e due quindi il rapporto è positivo
se x>0 e y<0 allora y<-2x oppure y>-x
quindi il dominio dovrebbe essere (x>0,y>0)U(x<0.y<0)U(x<0, y>-2x o y<-x)U(x>0,y<-2x o y>-x)
quindi riassumendo se x<0 y>-2x ;x<0 y<-x. se x>0 y>-x ;x>0 y<-2x giusto?
se x>0 e y>0 sono entrambi positivi
se x<0 e y>0 per essere positivi deve essere y>-2x oppure y<-x
se x<0 e y<0 sono negativi tutti e due quindi il rapporto è positivo
se x>0 e y<0 allora y<-2x oppure y>-x
quindi il dominio dovrebbe essere (x>0,y>0)U(x<0.y<0)U(x<0, y>-2x o y<-x)U(x>0,y<-2x o y>-x)
quindi riassumendo se x<0 y>-2x ;x<0 y<-x. se x>0 y>-x ;x>0 y<-2x giusto?
Scusate se mi intrometto 
In maniera equivalente a quanto detto da adaBTTLS, il dominio è dato da questo sistema:
${(y>=-x),(y>\-2x):}$
La prima disequazione è data dalla condizione di esistenza della radice (di indice pari) al numeratore, mentre la seconda è data dalla condizione di esistenza della radice al denominatore (ho messo il segno $>$ poichè lo zero è escluso al denominatore).
[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("-x"); // disegna la funzione seno
stroke="green"; // seleziona il colore verde
plot("-2*x"); // disegna la conica d'equazione y = x^2 - 2[/asvg]
Ora queste sono le due rette che ci interessano. Prova a dire qual è la regione che corrisponde al dominio.
In maniera equivalente a quanto detto da adaBTTLS, il dominio è dato da questo sistema:
${(y>=-x),(y>\-2x):}$
La prima disequazione è data dalla condizione di esistenza della radice (di indice pari) al numeratore, mentre la seconda è data dalla condizione di esistenza della radice al denominatore (ho messo il segno $>$ poichè lo zero è escluso al denominatore).
[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("-x"); // disegna la funzione seno
stroke="green"; // seleziona il colore verde
plot("-2*x"); // disegna la conica d'equazione y = x^2 - 2[/asvg]
Ora queste sono le due rette che ci interessano. Prova a dire qual è la regione che corrisponde al dominio.
il dominio è tutto tranne la regione del piano cartesiano compreso tra le 2 rette.scritto in forma matematica non è come ho scritto sopra?
no, il disegno di matths87 semplifica le cose.
se si fa un sistema, è perché le due disequazioni devono essere verificate entrambe.
quindi non l'unione dei due semipiani, ma l'intersezione, va presa: è l'angolo (ottuso ma convesso) che comprende il primo quadrante tra la semiretta in verde verso l'alto e la semiretta in rosso verso il basso, compresa la semiretta rossa tranne l'origine, esclusa la semiretta verde.
è chiaro?
se si fa un sistema, è perché le due disequazioni devono essere verificate entrambe.
quindi non l'unione dei due semipiani, ma l'intersezione, va presa: è l'angolo (ottuso ma convesso) che comprende il primo quadrante tra la semiretta in verde verso l'alto e la semiretta in rosso verso il basso, compresa la semiretta rossa tranne l'origine, esclusa la semiretta verde.
è chiaro?
ok devo fare l'intersezione.però se era $sqrt($(x+y)/(2x+y)$)$ cioè tutta la frazione sotto radice allora non dovevo fare l'intersezione bensi lo studio dei segni del numeratore e del denominatore e prendere le parti dove il rapporto veniva positivo quindi in questo caso il dominio veniva tutto tranne le parti comprese tra le due rette come avevo scritto prima giusto?
"le parti comprese tra le due rette" non dice univocamente di cosa stai parlando...
comunque nel caso che fosse stata l'intera frazione sotto radice, il dominio sarebbe stato l'unione dei due angoli ottusi opposti al vertice, compresa la retta in rosso, esclusa la retta in verde, esclusa anche l'origine.
comunque nel caso che fosse stata l'intera frazione sotto radice, il dominio sarebbe stato l'unione dei due angoli ottusi opposti al vertice, compresa la retta in rosso, esclusa la retta in verde, esclusa anche l'origine.
si ok ho capito.ma quindi per trovare il dominio di una funzione di due variabili bisogna sempre farlo in maniera grafica?cioè disegno le funzioni e poi tramite unioni o intersezioni trovo il dominio?
no, il grafico serve ad illustrare la soluzione, visto che si tratta di un sottoinsieme di $RR^2$. la soluzione può essere benissimo espressa così [anche se dubito che un esaminatore potrebbe capire che effettivamente chi risponde in questo modo ha capito che si tratta proprio dell'unione di due angoli opposti al vertice...]:
$D={(x,y) in RR^2 | ((y>= -x)^^(y> -2x))vv((y<= -x)^^(y< -2x))}$
$D={(x,y) in RR^2 | ((y>= -x)^^(y> -2x))vv((y<= -x)^^(y< -2x))}$
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