Dominio di funzioni a due variabili...
ragazzi ho la funzione $f(x,y)= 1/(log(x^2-3y))*arccos(x/4)+sqrt(y-2xy+x^2y)$ ora lasciando stare il primo addendo e andando direttamente al problema non capisco perchè il dominio di:
$sqrt(y-2xy+x^2y)$ è dato da $x!=1, y>=0 vv x=1, AA y$; io mi trovo $y>=0 uu AAx$ perchè ho fatto in questo modo:
$y-2xy+x^2y>=0$ $rarr$ $y(x-1)^2>=0$ $rarr$ $y>=0 uu (x-1)^2>=0$... chi può aiutarmi a capire?
$sqrt(y-2xy+x^2y)$ è dato da $x!=1, y>=0 vv x=1, AA y$; io mi trovo $y>=0 uu AAx$ perchè ho fatto in questo modo:
$y-2xy+x^2y>=0$ $rarr$ $y(x-1)^2>=0$ $rarr$ $y>=0 uu (x-1)^2>=0$... chi può aiutarmi a capire?
Risposte
Infatti non è vero ciò che scrivi:
$y(x-1)^2>=0 => y>=0 uu (x-1)^2>=0$
per questo tipo di disequazioni devi studiare i segni, cioè devi disegnare un piano cartesiano e studiare i casi in cui quella disequazione è positiva.
$y(x-1)^2>=0 => y>=0 uu (x-1)^2>=0$
per questo tipo di disequazioni devi studiare i segni, cioè devi disegnare un piano cartesiano e studiare i casi in cui quella disequazione è positiva.
forse ho capito, cioè per $x!=1$ il termine $(x-1)^2$ è positivo per $x=1$ è uguale a zero però comunque risulta positiva per l'uguale, però non capisco da dove esce $AA y$; perchè $AA y$ è anche soluzione della disequazione?
*Per $x=1$ il pezzo nella parentesi è nullo, perciò l'intero argomento è nullo qualunque sia il valore di $y$
*Per $x \ne 1$ la parentesi è sicuramente positiva perché elevata a potenza pari, quindi il segno varia a seconda del solo valore di $y$, e il dominio è allora $y \ge 0$ perché il tutto è argomento di una radice di indice pari. Il dominio è perciò:
\(\displaystyle \begin{cases} \forall y, & x=1 \\ y \ge 0, & x \ne 1 \end{cases} \)
Graficamente, il dominio di questa radice è il seguente:
*Per $x \ne 1$ la parentesi è sicuramente positiva perché elevata a potenza pari, quindi il segno varia a seconda del solo valore di $y$, e il dominio è allora $y \ge 0$ perché il tutto è argomento di una radice di indice pari. Il dominio è perciò:
\(\displaystyle \begin{cases} \forall y, & x=1 \\ y \ge 0, & x \ne 1 \end{cases} \)
Graficamente, il dominio di questa radice è il seguente:
Si il dominio è quello disegnato da brancaleone. Vorrei solo far notare che $(x-1)^2>=0$ è sempre verificata, non c'è bisogno di escludere $1$
Io ho scritto che il dominio era $y>=0$ senza fare il grafico e distinguere i casi, cioè ho solo detto $y(x-1)^2>=0$ quando:
$y>=0$ e quando $(x-1)^2>=0$ che è sempre verificato;
quindi diciamo che ho fatto una cosa del genere $y>=0 uu AAx$ e poi a mente mi sono disegnato il grafico e ho trovato $y>=0$...
è sbagliata come cosa? cioè devo sempre specificare tutto o posso omettere alcuni passi?
$y>=0$ e quando $(x-1)^2>=0$ che è sempre verificato;
quindi diciamo che ho fatto una cosa del genere $y>=0 uu AAx$ e poi a mente mi sono disegnato il grafico e ho trovato $y>=0$...
è sbagliata come cosa? cioè devo sempre specificare tutto o posso omettere alcuni passi?
In questo caso diciamo che sei stata fortunata perchè la seconda disequazione è sempre verificata, ma in altri casi devi sempre fare la discussione grafica con lo studio dei segni.
Trovi l'esercizio risolto al seguente url: http://esercizirisolti.altervista.org/esercizi/es8.php.
Ciao
Ciao
ok, adesso ho capito grazie mille a tutti..... volevo chiedere però un'altro aiuto su un altro esercizio, l'esercizio è
$f(x,y)=sqrt(sin(2x^2+2y^2))$ allora il dominio è dato dalla soluzione della disequazione $sin(2x^2+2y^2)>=0$ quindi non sarebbe altro che tutti i punti interni alla circonferenza di raggio unitario, però il libro mi da come soluzione una famiglia di corone circolari, perchè?
$f(x,y)=sqrt(sin(2x^2+2y^2))$ allora il dominio è dato dalla soluzione della disequazione $sin(2x^2+2y^2)>=0$ quindi non sarebbe altro che tutti i punti interni alla circonferenza di raggio unitario, però il libro mi da come soluzione una famiglia di corone circolari, perchè?
perchè dici "tutti i punti interni alla circonferenza unitaria?!"
è questo che sbagli...riflettici!
è questo che sbagli...riflettici!
giusto non è la circonferenza goniometrica... partendo dall'inizio: quella disequazione è maggiore o uguale a zero se il suo argomento lo è...ora il suo argomento non è sempre maggiore o uguale a zero tipo:
per $x=1$, $y=sqrt(-1)$ che non si può fare a meno che non introduco i numeri complessi, devo calcolare le radici quadrate? cioè devo risolvere questa disequazione nel campo complesso? in effetti il libro riporta come soluzione:
$(x,y)in RR^2: kpi<=x^2+y^2<=(2k+1)pi/2, kin ZZ$...
per $x=1$, $y=sqrt(-1)$ che non si può fare a meno che non introduco i numeri complessi, devo calcolare le radici quadrate? cioè devo risolvere questa disequazione nel campo complesso? in effetti il libro riporta come soluzione:
$(x,y)in RR^2: kpi<=x^2+y^2<=(2k+1)pi/2, kin ZZ$...
Non devi risolverla nel campo complesso, perchè questa è analisi reale.
E non è vero ciò che dici:
pensa al grafico del seno e cerca di capire l'errore...
E non è vero ciò che dici:
quella disequazione è maggiore o uguale a zero se il suo argomento lo è
pensa al grafico del seno e cerca di capire l'errore...
forse ho capito, il seno è positivo tra $0$ e $pi$! quindi:
$sin(2x^2+2y^2)>=0$ $rarr$ $0<=(2x^2+2y^2)<=pi$ ovvero:
${(2x^2+2y^2>=0),(x^2+y^2<=pi/2):}$ ora la prima rappresenta l'equazione degenere della circonferenza quindi il punto $(0;0)$ mentre la seconda quella della circonferenza avente centro nell'origine e di raggio pari a $sqrtpi/2$ ??? giusto???
$sin(2x^2+2y^2)>=0$ $rarr$ $0<=(2x^2+2y^2)<=pi$ ovvero:
${(2x^2+2y^2>=0),(x^2+y^2<=pi/2):}$ ora la prima rappresenta l'equazione degenere della circonferenza quindi il punto $(0;0)$ mentre la seconda quella della circonferenza avente centro nell'origine e di raggio pari a $sqrtpi/2$ ??? giusto???
in realtà sarebbe $0<=x^2+y^2<=\pi/2$ a cui ci devi aggiungere il periodo. Se provi a disegnare questa condizione su un piano cartesiano ti accorgi che escono tutte corone circolari...
giusto, mi ero distratto un secondo ora correggo... Grazie mille per l'aiuto!!!!!
Trovi l'esercizio risolto al seguente URL:
Ciao
[xdom="Raptorista"]Censuro il link. Per piacere, evita lo spam su questo forum.[/xdom]
Ciao
[xdom="Raptorista"]Censuro il link. Per piacere, evita lo spam su questo forum.[/xdom]
chiedo scusa ho un altro esercizio di cui non riesco a calcolare il dominio... l'esercizio è:
$f(x,y)= sqrt((arcsin(3x^2+2y^2-3))/(xy))$ il dominio dovrebbe essere facile, infatti devo risolvere la disequazione:
$(arcsin(3x^2+2y^2-3))/(xy)>=0$ ${(-1<=3x^2+2y^2-3<=1),(xy>0):}$ la prima disequazione rappresenta la parte di piano racchiusa fra gli ellissi aventi centro nell'origine e semiasse maggiore pari a $sqrt(2/3)$ e semiasse minore pari a $1$ e l'altro ha invece semiasse maggiore pari $2/(sqrt3)$ e minore pari a $sqrt2$ la seconda disequazione invece ha come soluzione il primo e il terzo quadrante esclusi i punti degli assi... quindi la soluzione, poichè il grafico lo leggo ad unione, è:
[asvg]axes();
ellipse( [0, 0] , 0.8164 , 1);
ellipse( [0, 0] , 1.1547 , 1.41);[/asvg]
non so se si capisce ma non riesco a colorare le parti dovute... comunque il dominio non è questo...chi può aiutarmi??? non riesco a capire dove sbaglio....
$f(x,y)= sqrt((arcsin(3x^2+2y^2-3))/(xy))$ il dominio dovrebbe essere facile, infatti devo risolvere la disequazione:
$(arcsin(3x^2+2y^2-3))/(xy)>=0$ ${(-1<=3x^2+2y^2-3<=1),(xy>0):}$ la prima disequazione rappresenta la parte di piano racchiusa fra gli ellissi aventi centro nell'origine e semiasse maggiore pari a $sqrt(2/3)$ e semiasse minore pari a $1$ e l'altro ha invece semiasse maggiore pari $2/(sqrt3)$ e minore pari a $sqrt2$ la seconda disequazione invece ha come soluzione il primo e il terzo quadrante esclusi i punti degli assi... quindi la soluzione, poichè il grafico lo leggo ad unione, è:
[asvg]axes();
ellipse( [0, 0] , 0.8164 , 1);
ellipse( [0, 0] , 1.1547 , 1.41);[/asvg]
non so se si capisce ma non riesco a colorare le parti dovute... comunque il dominio non è questo...chi può aiutarmi??? non riesco a capire dove sbaglio....
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo