Dominio di funzione reale

[Summerwind78]

Ciao a tutti

avrei bisogno di un aiutino per studiare il dominio di questa funzione

$ f(x) = sqrt( ln( ( sqrt(x) + sqrt(1-x) )/alpha )) $

con $alpha > 0$

io ho ragionato nel seguente modo:

ho imposto $x>=0$ per la prima radice all'interno del logartimo

ho imposto $1-x>=0->x<=1$ per la seconda radice all'interno del logaritmo

poi ho posto

$ ( sqrt(x) + sqrt(1-x) )/alpha>0$

che sapendo essere $alpha >0$ diventa
$ sqrt(x) + sqrt(1-x)>0$

da cui
$sqrt(x) > -sqrt(1-x) -> x>1-x -> 2x>1 -> x>1/2 $


il mio problema nasce nell'imporre l'argomento della prima radice maggiore di zero ovvero

$ln( ( sqrt(x) + sqrt(1-x) )/alpha)>0$

prendendo l'esponenziale da entrambe le parti mi diventa:

$ ( sqrt(x) + sqrt(1-x) )/alpha>1 -> ( sqrt(x) + sqrt(1-x) )/alpha-1 >0 -> ( sqrt(x) + sqrt(1-x) -alpha)/alpha >0 $

$sqrt(x) + sqrt(1-x) -alpha>0 -> sqrt(x) + sqrt(1-x) > alpha$

da questo momento in po' mi blocco... non so bene come procedere

esiste un metodo analitico per risolverla, oppure devo ragionare graficamente in qualche modo?


Grazie mille

Ciao a tutti

[lorenzom971]

Ciao

Questa è la soluzione che ho trovato io:

$ f(x) = sqrt( ln( ( sqrt(x) + sqrt(1-x) )/alpha )) $

Poniamo: $ ln( ( sqrt(x) + sqrt(1-x) )/alpha )>=0$

Quindi ne consegue che:

1) $x>=0$ \(\land\) $(1-x)>=0$

2) $ ( sqrt(x) + sqrt(1-x) )/alpha>= 1$

Dal punto 1 abbiamo che $0<=x<=1$

Per quanto riguarda il punto 2, ho proceduto così:

$ ( sqrt(x) + sqrt(1-x) )/alpha>= 1$

$ ( sqrt(x) + sqrt(1-x) - alpha )/alpha >= 0 $

visto che $alpha>0$, la disequazione diventa: $sqrt(x) + sqrt(1-x) - alpha >= 0$

pongo alla seconda i due membri, e ne consegue: $1+2sqrt(x(1-x))>=alpha^2$

$sqrt(x(1-x))>=(alpha^2-1)/2$

A questo punto sappiamo che il primo membro è sempre positivo, mentre il secondo, per $alpha<1$, è negativo. Questo significa che la disequazione è sempre verificata per $alpha<1$.
Quindi abbiamo la prima parte della soluzione, ovvero: $D=($\(x\in\)$[0,1]$\(\land\alpha\in\)$(0,1))$

Adesso però, continuiamo a risolvere la disequazione per $alpha>=1$

$x(1-x)>=((alpha^2-1)/2)^2$

$-x^2+x-(alpha^2-1)^2/4>=0$

Adesso bisogna trovare le radici dell'equazione: $-x^2+x-(alpha^2-1)^2/4=0$

\(x_{1,2}\)$=(1+-sqrt(1-4(alpha^2-1)^2/4))/2$

Che, semplificando, diventa:

\(x_{1,2}\)$=(1+-sqrt(alpha^2(2-alpha^2)))/2$

Per trovare le soluzioni bisogna porre il $Delta>=0$: $alpha^2(2-alpha^2)>=0->-sqrt(2)<=alpha<=sqrt(2)$
Ma, visto che avevamo posto $alpha>1$, abbiamo che, per avere delle soluzioni reali, $1<=alpha<=sqrt(2)$

In questo caso la soluzione della precedente disequazione sarebbe: $(1-alpha sqrt(2-alpha^2))/2<=x<=(1+alpha sqrt(2-alpha^2))/2$

Questo ultimo risultato, unito al primo pezzo che avevamo trovato, rappresenta la soluzione finale:

$D=($\(x\in\)$[0,1]$\(\land\alpha\in\)$(0,1))$\(\lor\)$($\(x\in\)$[(1-alpha sqrt(2-alpha^2))/2,(1+alpha sqrt(2-alpha^2))/2]$\(\land\alpha\in\)$[1,sqrt(2)])$




Spero di essere stato chiaro (e non aver fatto errori )

[@melia]

La prima parte va bene, ma già la disequazione irrazionale è sbagliata.
La soluzione di $sqrt(x) + sqrt(1-x)>0$ è sempre, quando esiste, cioè per $0<=x<=1$, infatti $sqrt(x) > - sqrt(1-x)$ è sempre verificata tranne nel caso che i due termini si annullino contemporaneamente, perché il primo membro è sempre positivo e il secondo sempre negativo.

E adesso la seconda parte. Intanto correggo la disequazione principale nella quale va messo anche l'uguale
$ sqrt(x) + sqrt(1-x) -alpha>=0 -> sqrt(x) + sqrt(1-x) >= alpha $ adesso siccome entrambi i membri sono positivi elevo alla seconda senza perdere il verso della disuguaglianza:
$x+2sqrt(x(1-x))+1-x>= alpha^2$ adesso calcoli e poi isolando la radice ottieni
$2sqrt(x(1-x))>= alpha^2-1$ e qui hai due casi
1) se $ alpha^2-1<0$ che diventa $0 2) se $ alpha^2-1>=0$ puoi elevare alla seconda perché entrambi i membri sono positivi e non perdi il verso della disuguaglianza. Qui ci sono un sacco di calcoli. Alla fine risulta $(1-sqrt(1-(alpha^2-1)^2))/2 <=x<= (1+sqrt(1-(alpha^2-1)^2))/2$, con $1<=alpha<=sqrt2$

Riassumendo:
per $0 per $1<=alpha<=sqrt2$ ottieni $(1-sqrt(1-(alpha^2-1)^2))/2 <=x<= (1+sqrt(1-(alpha^2-1)^2))/2$

[Summerwind78]

Grazie mille davvero!

non ci ero arrivato