Dominio di funzione logaritmica esponenziale
Buongiorno a tutti, chiedo un aiuto a tutti voi sulla determinazione dell'insieme di esistenza di funzioni logaritmiche ed esponenziali. So che magari l'argomento per alcuni è di estrema facilità, ma io davvero sto impazzendo!! L'esercizio che mi ha mandato in tilt è il seguente. Determinare il dominio della seguente funzione: 1/x ln (e^x-1)/x. Help Please!!!!! 
Risposte
ciao e ben venuto! se inserisci la formula tra il simbolo del dollaro, leggiamo meglio la funzione!
la funzione è questa?
\begin{align}
f(x):=\frac{1}{x}\ln\left(\frac{e^x-1}{x}\right)
\end{align}
\begin{align}
f(x):=\frac{1}{x}\ln\left(\frac{e^x-1}{x}\right)
\end{align}
Si perfetto, la funzione è quella li? Come avete fatto a capirla se neanche l'avevo scritta con le formule giuste? Vi ringrazio per l'aiuto che potrete darmi
poni le condizioni di esistenza della frazione, cioè il denominatore diverso da zero, e le condizioni di esistenza del logaritmo, cioè l'argomento maggiore di zero.
ok per il denominatore diverso da zero, non riesco però a procedere dopo aver posto l'argomento del logaritmo maggiore di zero, cioè di fatto non so come risolvere la disequazione esponenziale. Riuscite ad illustrarmelo?
devi porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero, cioè
\begin{align} \frac{e^x-1}{x}>0 \end{align}
a \uesto punto sei difronte ad una disequazione razionale in cui è presente anche un'esponenziale; studiando il segno del numeratore e del denominatore, dobbiamo stabilire quando quella frazione risulta maggiore di zero: allora poniamo:
\begin{align}
N(x)>0 :&\quad e^x-1>0\quad\to\quad e^x >1 \quad\to\quad \ln e^x >\ln 1 \quad\to\quad x>0
\\\\D(x)>0 :&\quad x>0\quad
\end{align}
ora studiando il segno della frazione, cioè del rapporto ${N(x)}/{D(x)},$ ti accorgi che risulta sempre positivo. Dunque concludi che il dominio della funzione è tutto $\RR$ eccetto il punto $x=0$
\begin{align} \frac{e^x-1}{x}>0 \end{align}
a \uesto punto sei difronte ad una disequazione razionale in cui è presente anche un'esponenziale; studiando il segno del numeratore e del denominatore, dobbiamo stabilire quando quella frazione risulta maggiore di zero: allora poniamo:
\begin{align}
N(x)>0 :&\quad e^x-1>0\quad\to\quad e^x >1 \quad\to\quad \ln e^x >\ln 1 \quad\to\quad x>0
\\\\D(x)>0 :&\quad x>0\quad
\end{align}
ora studiando il segno della frazione, cioè del rapporto ${N(x)}/{D(x)},$ ti accorgi che risulta sempre positivo. Dunque concludi che il dominio della funzione è tutto $\RR$ eccetto il punto $x=0$
E si giusto è proprio così, non ci avevo capito nulla. Vi ringrazio e mi metto a studiare!! Alla prossima
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