Dominio di funzione logaritmica con v.assoluto

[marika.bas]

ragazzi come si trova il dominio di questa funzione?

$g(x)=|log^2 (x-2) - log(x-2)| $

[gugo82]

Tentativi tuoi?

[marika.bas]

credo che si faccia così:
x-2>0 quindi il dominio è $ )2;+∞($

giusto?

[gugo82]

Certo, perché l'unica cosa che "dà problemi" è il logaritmo.

[marika.bas]

ok ok mentre ora devo calcolare gli asintoti.. per farlo devo studiare prima il valore assoluto e cioè fare il sistema e scindere quando è >= 0 e quando è <0? questo non so farlo

[gugo82]

Dipende da cosa vuoi fare...
Ad ogni modo, dato che:
\[
|y|:= \begin{cases} y &\text{, se } y\geq 0\\
- y &\text{, se } y<0
\end{cases}
\]
hai:
\[
g(x) = \begin{cases} \log^2 (x-2) - \log (x-2) &\text{, se } \log^2 (x-2) - \log (x-2)\geq 0\\
\log (x-2) - \log^2 (x-2) &\text{, se } \log^2 (x-2) - \log (x-2)<0\; ,
\end{cases}
\]
quindi per distinguere i casi basta risolvere la disequazione:
\[
\log^2 (x-2) - \log (x-2)\geq 0
\]
che non è difficile.

[marika.bas]

voglio trovare gli asintoti...
si questo sistema l'avevo fatto ciò che non ho capito perchè si sceglie la prima disequazione da studiare e non la seconda ?

[gugo82]

Perché risolvere una delle due basta e avanza.

Infatti, se una certa funzione \(f(x)\) è \(\geq 0\) in tutti e soli i punti di un sottoinsieme \(X\subseteq \operatorname{Dom} f\), allora essa è \(<0\) in \(\operatorname{Dom} f \setminus X\).
Ad esempio, se:
\[
f(x):= \log^2 (x-2) - \log (x-2)
\]
ed ovviamente \(\operatorname{Dom} f = ]2,\infty[\), essendo:
\[
f(x)\geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x\in X=]2,3]\cup [e+2,\infty[
\]
si ha certamente:
\[
f(x)<0\quad \Leftrightarrow \quad x\in \operatorname{Dom} f\setminus X=]3,e+2[\; .
\]

Quindi, in generale, basta risolvere una disequazione sola, poiché le soluzioni dell'altra vengono fuori "passando al complementare".
Per convenzione, si sceglie quasi sempre di risolvere la disequazione col \(\geq\)... Però potresti risolvere anche solo l'altra: non cambierebbe nulla.