Dominio di funzione fratta
Buongiorno!
Vorrei chiedervi un aiuto circa il dominio di una funzione fratta, che di per sé non mi crea problemi in genere, con un logaritmo a numeratore. La funzione è la seguente: $ f(x)=(2-ln(x+1))/(x+1) $
Io ho posto il denominatore $ (x+1)!= 0 $ , quindi $ domf=(-oo ,-1)uu (-1,+oo ) $
Il mio dubbio ora è: devo considerare, nel "calcolare" il dominio, l'argomento del logaritmo che si trova a numeratore? Ossia, devo porre oltre a $ (x+1)!= 0 $ anche l'argomento del logaritmo >0?
Il dubbio mi è sorto quando, studiando un'altra funzione ( $ f(x)= (2-ln(x-1))/(x-1) $ ), cercando le intersezioni con gli assi e sostituendo x=0, l'argomento del logaritmo risultava negativo. E a me hanno sempre detto che dev'essere >0!
Potreste dirmi cosa mi sfugge?
Grazie!
Vorrei chiedervi un aiuto circa il dominio di una funzione fratta, che di per sé non mi crea problemi in genere, con un logaritmo a numeratore. La funzione è la seguente: $ f(x)=(2-ln(x+1))/(x+1) $
Io ho posto il denominatore $ (x+1)!= 0 $ , quindi $ domf=(-oo ,-1)uu (-1,+oo ) $
Il mio dubbio ora è: devo considerare, nel "calcolare" il dominio, l'argomento del logaritmo che si trova a numeratore? Ossia, devo porre oltre a $ (x+1)!= 0 $ anche l'argomento del logaritmo >0?
Il dubbio mi è sorto quando, studiando un'altra funzione ( $ f(x)= (2-ln(x-1))/(x-1) $ ), cercando le intersezioni con gli assi e sostituendo x=0, l'argomento del logaritmo risultava negativo. E a me hanno sempre detto che dev'essere >0!
Potreste dirmi cosa mi sfugge?
Grazie!
Risposte
Per il dominio della funzione devi porre tutte le condizioni necessarie quindi, nel tuo caso, sia che il denominatore sia diverso da zero che l'argomento del logaritmo sia strettamente maggiore di zero.
Quindi :
$ x+1!= 0=>x!=-1 $
$ x+1>0=> x> -1 $
queste due condizioni si riuniscono insieme dicendo che il tuo dominio $ D={x in R : x> -1} $
Quindi :
$ x+1!= 0=>x!=-1 $
$ x+1>0=> x> -1 $
queste due condizioni si riuniscono insieme dicendo che il tuo dominio $ D={x in R : x> -1} $
Ok, ho capito! 
Sempre riguardo questa funzione, non sono sicura di svolgere correttamente la derivata seconda. I passaggi che faccio sono:
$ f''(x)= {[(1/(x+1)*1*(x+1)^2)]-[(ln(x+1)-3)*2*(x+1)^(2-1)]}/(x+1)^4 $
$ = {((x+1)^2/(x+1))-[(ln(x+1)-3)*2*(x+1)]}/(x+1)^4 $
$ = ((x+1)-(2ln(x+1)-6))/(x+1)^3= (x+7-2ln(x+1))/(x+1)^3 $
La derivata prima era: $ f'(x)= (ln(x+1)-3)/(x+1)^2 $
Potreste dirmi s'è corretto? Perché nel calcolare la concavità, $ f''(x)>=0 $ , ho qualche problema con il numeratore ( $ (x+7-2ln(x+1)>=0) $ ) e magari ciò è dovuto a un errore nel calcolo della derivata seconda.
Spero di non aver sbagliato a scrivere anche questo dubbio in questo stesso post..
Sempre riguardo questa funzione, non sono sicura di svolgere correttamente la derivata seconda. I passaggi che faccio sono:
$ f''(x)= {[(1/(x+1)*1*(x+1)^2)]-[(ln(x+1)-3)*2*(x+1)^(2-1)]}/(x+1)^4 $
$ = {((x+1)^2/(x+1))-[(ln(x+1)-3)*2*(x+1)]}/(x+1)^4 $
$ = ((x+1)-(2ln(x+1)-6))/(x+1)^3= (x+7-2ln(x+1))/(x+1)^3 $
La derivata prima era: $ f'(x)= (ln(x+1)-3)/(x+1)^2 $
Potreste dirmi s'è corretto? Perché nel calcolare la concavità, $ f''(x)>=0 $ , ho qualche problema con il numeratore ( $ (x+7-2ln(x+1)>=0) $ ) e magari ciò è dovuto a un errore nel calcolo della derivata seconda.
Spero di non aver sbagliato a scrivere anche questo dubbio in questo stesso post..
allora a me la derivata seconda viene così: (non è detto che sbagli pure io i calcoli però )
$ (1/(x+1)*(x+1)^2-ln(x+1)*2*(x+1))/(x+1)^4 $
$ ((x+1)-ln(x+1)*2*(x+1))/(x+1)^4 $
$ ((x+1)(1-2ln(x+1)))/(x+1)^4 $
quindi:
$ f''=(1-2ln(x+1))/(x+1)^3 $
per quanto riguarda lo studio della convessità hai:
DENOMINATORE: si annulla in -1 ed è positivo per x>-1
NUMERATORE: si annulla in $ sqrte-1 $ (infatti $ ln(x+1)=1/2=>x+1=e^(1/2)=>x=sqrte-1 $ ) ed è positivo per $ -1sqrte-1 $
in conclusione ho convessità $ -1sqrte-1 $
)$ (1/(x+1)*(x+1)^2-ln(x+1)*2*(x+1))/(x+1)^4 $
$ ((x+1)-ln(x+1)*2*(x+1))/(x+1)^4 $
$ ((x+1)(1-2ln(x+1)))/(x+1)^4 $
quindi:
$ f''=(1-2ln(x+1))/(x+1)^3 $
per quanto riguarda lo studio della convessità hai:
DENOMINATORE: si annulla in -1 ed è positivo per x>-1
NUMERATORE: si annulla in $ sqrte-1 $ (infatti $ ln(x+1)=1/2=>x+1=e^(1/2)=>x=sqrte-1 $ ) ed è positivo per $ -1
in conclusione ho convessità $ -1
Ti ringrazio, adesso è più chiaro! Purtroppo ogni tanto mi perdo!!
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