Dominio di funzione, dove sbaglio?

[Flamber]

Ho qualche problema con il dominio di questa funzione:

$f\(x) =ln ( \sqrt { x+9 } -2x ) $

concettualmente è molto semplice, ma devo fare qualche errore che itero ogni volta che provo a rifarlo.

$\sqrt { x+9 } -2x >0$ quindi $4x^2-x-9<0$

le soluzioni sono i valori interni a

$(1\pm\sqrt { 145 })/8 $

che sono rispettivamente $-1,3$ e $+1,6$ più o meno.

poi c'è da imporre $x>=-9$

Facendo l'intersezione di questi due risultati, viene:

$(1-sqrt { 145 })/8
e invece secondo il libro, ma soprattutto secondo il grafico la funzione è definita su $[-9,(1+\sqrt { 145 })/8)$




dove è il mio errore? grazie a chiunque voglia dedicarci un po' di tempo.

[gugo82]

Se \(x<0\), la disequazione \(\sqrt{x+9} -2x>0\) è sempre soddisfatta (perchè?).

[PZf]

"Flamber":
$\sqrt { x+9 } -2x >0$ quindi $4x^2-x-9<0$

Qui stai scrivendo $2x<\sqrt{x+9}$ per poi affermare che $(2x)^2<(\sqrt{x+9})^2$, ma è sempre vero che se $a Prova con $a=-1$ e $b=0$.

[Flamber]

per x=-10 non esiste nemmeno la funzione, come fa ad essere sempre soddisfatta?

Per PZf, ho capito l'errore, ma anche facendo così il risultato non viene, o mi sbaglio ancora?

[PZf]

Come giustamente osservi, per $x<-9$ la scrittura $\sqrt{x+9}$ non ha senso (in $\RR$).
Dopodiché procedi come avevi cominciato fino ad arrivare a $2x<\sqrt{x+9}$.
Quando $x>=0$ il passaggio che volevi fare è giustificato dunque, limitatamente al caso $x>=0$, procedi come stavi facendo.
Il caso $x<0$ lo devi trattare a parte, e risulta banalmente che $2x<\sqrt{x+9}$ è sempre soddisfatta purché $\sqrt{x+9}$ abbia senso (cioè $x>=-9$).

[Flamber]

aaaah ok ok, grzie 1000, ho risolto

[Sk_Anonymous]

"Flamber":aaaah ok ok, grzie 1000, ho risolto

Ma non sarebbe più semplice riprendere il libro delle superiori e ristudiarsi come si risolvono queste disequazioni? Infatti, devi risolvere due sistemi di disequazioni e farne l'unione. Vediamo come e perché.
Il tuo dominio è dato da $\sqrt{x+9}-2x>0$, che equivale a dire $\sqrt{x+9}>2x$, in cui ovviamente $x+9 \geq 0$.
Allora, ragioniamo. La radice, per definizione, è una quantità positiva, dunque se $\sqrt{a}>b$ (con $a$ non negativo), poiché $\sqrt{a} \geq 0$ puoi già affermare che se $b<0$, allora la disequazione è verificata $\forall a$ (non negativo), poiché qualsiasi numero non negativo (cioè positivo o lo $0$) sarà maggiore di un qualsiasi numero negativo. Viceversa, se $y \geq 0$ allora puoi risolvere $\sqrt{x}>y$ elevando al quadrato (ma solo sotto questa ipotesi!). In sostanza, le soluzioni della tua disequazione sono:
\[
\begin{cases} x+9>(2x)^2 \\ 2x \geq 0 \\ x+9 \geq 0
\end{cases}
\cup
\begin{cases} 2x<0 \\ x+9 \geq 0 \end{cases}
\]
In generale, una disequazione del tipo $\sqrt{f(x)}>g(x)$ si risolve così:
\[
\begin{cases} f(x)>(g(x))^2 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) \geq 0
\end{cases}
\cup
\begin{cases} g(x)<0 \\ f(x) \geq 0 \end{cases}
\]

[Sk_Anonymous]

@giuliofis
Nel sistema a tre, la condizione di esistenza è superflua.

[Sk_Anonymous]

"speculor":@giuliofis
Nel sistema a tre, la condizione di esistenza è superflua.

Lo so ma quando uno non se le ricorda le cose secondo me è bene presentare tutto, anche se in più e superfluo, in modo tale il tutto possa essere generalizzato anche a casi diversi... Sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Scusami, non avevo colto la tua strategia didattica. No, non sbagli. Piuttosto, alla luce della tua pronta replica, ho perso una buona occasione per farmi gli affari miei.

[Sk_Anonymous]

"speculor":Piuttosto, alla luce della tua pronta replica, ho perso una buona occasione per farmi gli affari miei.

Perché scrivi questo?

[gugo82]

"Flamber":per x=-10 non esiste nemmeno la funzione, come fa ad essere sempre soddisfatta?

Sottointendevo, ovviamente, di considerare solo gli \(x\) per i quali la radice aveva senso... Come d'altra parte avevi fatto pure tu (visto che la condizione di esistenza della radice l'hai imposta solo successivamente).

[Sk_Anonymous]

"giuliofis":
Perché scrivi questo?

Semplicemente perchè mi sono intromesso nella tua strategia didattica.

[Sk_Anonymous]

"speculor":[quote="giuliofis"]
Perché scrivi questo?

Semplicemente perchè mi sono intromesso nella tua strategia didattica. [/quote]
Ma era un'osservazione corretta!
A me ogni volta che chiedono aiuto in queste cose faccio scrivere sempre tutte le condizioni, anche a costo di arrivare a sistemi di sei o sette equazioni e disequazioni, perché sono convinto che è bene imparare ad individuare tutte le condizioni, poi per eliminare le superflue c'è tutto il tempo (e così non si rischia di perdersene qualcuna per strada).

[gio73]

Giulio... speculor sta dicendo che tu hai insegnato bene: ti sta facendo un complimento.

[Sk_Anonymous]

"gio73":
Giulio... speculor sta dicendo che tu hai insegnato bene: ti sta facendo un complimento.

Giusta osservazione. Mi sono intromesso e, alla luce del fatto che Giulio stava procedendo nel modo più corretto, non avrei dovuto farlo.

[Sk_Anonymous]

"speculor":[quote="gio73"]
Giulio... speculor sta dicendo che tu hai insegnato bene: ti sta facendo un complimento.

Giusta osservazione. Mi sono intromesso e, alla luce del fatto che Giulio stava procedendo nel modo più corretto, non avrei dovuto farlo.[/quote]
Ah, ok! Mi era preso un attimo di panico ieri, non avrei voluto condurre nessuno sulla cattiva strada. Son contento di non averlo fatto!