Dominio di funzione di indice dispari
$ root(5)((x^2 + y^2 - 1/8 )) $
Qualcuno saprebbe spiegarmi perchè il dominio non è R^2 ?
Io sapevo che il dominio di funzioni a variabile reale con indice dispari fosse R^2.
Qualcuno saprebbe spiegarmi perchè il dominio non è R^2 ?
Io sapevo che il dominio di funzioni a variabile reale con indice dispari fosse R^2.
Risposte
Purtroppo per loro sì...
La penso come laura123 (e come il libro...).
$root(3)x$ ha dominio $RR$, mentre $x^(1/3)$ ha dominio $RR_(>=0)$.
In una potenza con generico esponente reale la base deve essere non negativa. $root(3)(-3)$ è un valore reale, $(-3)^(1/3)$ sta in $CC$.
$root(3)x$ ha dominio $RR$, mentre $x^(1/3)$ ha dominio $RR_(>=0)$.
In una potenza con generico esponente reale la base deve essere non negativa. $root(3)(-3)$ è un valore reale, $(-3)^(1/3)$ sta in $CC$.
In merito all'argomento purtroppo c'è un po' di discordanza su molti libri, alcuni scrivono come dice ciampax altri come avevo detto io e dott.ing, ad esempio sul testo di Marcellini e Sbordone, Esercitazioni di Matematica 1 (seconda parte) pag 48, prima edizione, c'è la seguente indicazione (citata testualmente):
oppure sulle slides del prof Tommei e della professoressa Cerasi dell'università di Pisa reperibili all'indirizzo http://www.dm.unipi.it/~tommei/biologia ... otenza.pdf a pag 2
e altri...
in altri testi invece si parla della perfetta uguaglianza tra la radice e il corrispondente esponente frazionario, e a dire la verità ci sono varie argomentazioni a favore dell'una e a favore dell'altra... purtroppo molto dipende dalle convenzioni adottate
L'insieme di definizione $root{m}{\varphi}$ (m pari), $(\varphi(x))^{\alpha}$
ove $\alpha>0, \alpha\notin \mathbb{N}$ è uguale a $\{x\in X: \varphi(x)\geq 0\}$
oppure sulle slides del prof Tommei e della professoressa Cerasi dell'università di Pisa reperibili all'indirizzo http://www.dm.unipi.it/~tommei/biologia ... otenza.pdf a pag 2
e altri...
in altri testi invece si parla della perfetta uguaglianza tra la radice e il corrispondente esponente frazionario, e a dire la verità ci sono varie argomentazioni a favore dell'una e a favore dell'altra... purtroppo molto dipende dalle convenzioni adottate
Secondo me la state facendo un po' lunga...tutto dipende dal significato che si attribuisce al simbolo di radice cubica. Le definizioni possibili sono due; la prima, in termini di funzione esponenziale e logaritmo:
\[\sqrt[3]{x}:=\exp\left(\frac{1}{3}\ln x \right)\tag{$\star$}\]
che chiaramente ha senso solo se $x>0$. Altrimenti si osserva che $(\cdot)^3:RR\to RR$ è invertibile e si definisce radice cubica la sua inversa (che quindi sarà definita su tutto $RR$). Fine
Personalmente, preferisco la seconda definizione: per me la radice cubica E' questo, l'operazione inversa dell'elevamento al cubo, e coincide con la $(\star)$ sui positivi.
\[\sqrt[3]{x}:=\exp\left(\frac{1}{3}\ln x \right)\tag{$\star$}\]
che chiaramente ha senso solo se $x>0$. Altrimenti si osserva che $(\cdot)^3:RR\to RR$ è invertibile e si definisce radice cubica la sua inversa (che quindi sarà definita su tutto $RR$). Fine
Personalmente, preferisco la seconda definizione: per me la radice cubica E' questo, l'operazione inversa dell'elevamento al cubo, e coincide con la $(\star)$ sui positivi.
allora,per $n$ dispari
la funzione $ root(n)(x) $ è definita in $mathbbR$
la funzione $x^(1/n)$ è definita in $[0,+infty)$
la prima è un prolungamento della seconda
ci cascano in parecchi su questa cosa
la funzione $ root(n)(x) $ è definita in $mathbbR$
la funzione $x^(1/n)$ è definita in $[0,+infty)$
la prima è un prolungamento della seconda
ci cascano in parecchi su questa cosa
La mia risposta a questo post non vuole essere una provocazione o qualcosa del genere. Penso solo che sia più interessante una discussione di questo tipo e i confronti di idee che ne vengono fuori che la risoluzione di qualche esercizietto di analisi 1 o 2...
il problema non è come definire la radice ma se $root{3}{x}$ e $x^{1/3}$ sono o no la stessa cosa. Personalmente la penso come stormy, tuttavia sono a conoscenza che molti non sono d'accordo con me.
Io ho sempre interpretato la questione in questi termini:
1) alcune persone fissano per definizione $root{3}{x}=x^{1/3}$ e in questo caso $root{3}{x}$ e $x^{1/3}$ sono perfettamente uguali e hanno lo stesso dominio, e, nella catena di uguaglianze che ho scritto qualche messaggio prima[nota]$−2=root{3}{-8}=(−8)^{1/3}=(−8)^{2/6}=root{6}{(−8)^2}=root{6}{(+8)^2}=root{3}{8}=2$[/nota], l'errore stà nel moltiplicare per 2 il numeratore e il denominatore della frazione nell'esponente perché si dovrebbe "preservare" il segno - fuori di radice
2) altre persone invece vogliono conservare il fatto che $1/3=2/6$ (non come una semplice moltiplicazione del numeratore e del denominatore per 2) e quindi vogliono una definizione di $x^{1/3}$ che non porti all'inconveniente di gestire il segno -, quindi escono dal problema considerando, come dice stormy, $root{3}{x}$ come un prolungamento di $x^{1/3}$.
Per il resto basta mettersi d'accordo prima..
PS @ plepp Sono a conoscenza che c'è qualche testo, soprattutto di fondamenti di matematica, che usa la definizione di radice per mezzo del log e dell esponenziale, adesso mi sfugge il nome dell'autore. A me personalmente non piace anche perché devi assumere l'esistenza dell'esponenziale e del logaritmo da "assioma" altrimenti definiresti l'esponenziale con l'esponenziale stessa
"Plepp":
Secondo me la state facendo un po' lunga...tutto dipende dal significato che si attribuisce al simbolo di radice cubica. Le definizioni possibili sono due; la prima, in termini di funzione esponenziale e logaritmo:
$root{3}{x}:=exp(1/3 lnx)$(⋆)
che chiaramente ha senso solo se x>0. Altrimenti si osserva che (⋅)3:R→R è invertibile e si definisce radice cubica la sua inversa (che quindi sarà definita su tutto R). Fine
il problema non è come definire la radice ma se $root{3}{x}$ e $x^{1/3}$ sono o no la stessa cosa. Personalmente la penso come stormy, tuttavia sono a conoscenza che molti non sono d'accordo con me.
Io ho sempre interpretato la questione in questi termini:
1) alcune persone fissano per definizione $root{3}{x}=x^{1/3}$ e in questo caso $root{3}{x}$ e $x^{1/3}$ sono perfettamente uguali e hanno lo stesso dominio, e, nella catena di uguaglianze che ho scritto qualche messaggio prima[nota]$−2=root{3}{-8}=(−8)^{1/3}=(−8)^{2/6}=root{6}{(−8)^2}=root{6}{(+8)^2}=root{3}{8}=2$[/nota], l'errore stà nel moltiplicare per 2 il numeratore e il denominatore della frazione nell'esponente perché si dovrebbe "preservare" il segno - fuori di radice
2) altre persone invece vogliono conservare il fatto che $1/3=2/6$ (non come una semplice moltiplicazione del numeratore e del denominatore per 2) e quindi vogliono una definizione di $x^{1/3}$ che non porti all'inconveniente di gestire il segno -, quindi escono dal problema considerando, come dice stormy, $root{3}{x}$ come un prolungamento di $x^{1/3}$.
Per il resto basta mettersi d'accordo prima..
PS @ plepp Sono a conoscenza che c'è qualche testo, soprattutto di fondamenti di matematica, che usa la definizione di radice per mezzo del log e dell esponenziale, adesso mi sfugge il nome dell'autore. A me personalmente non piace anche perché devi assumere l'esistenza dell'esponenziale e del logaritmo da "assioma" altrimenti definiresti l'esponenziale con l'esponenziale stessa
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo