Dominio di funzione con log, esponenziali e valore assoluto
Salve a tutti.
Vorrei chiederVi, gentilmente, alcune delucidazioni circa il calcolo di dominio ed eventuale segno di questa particolare funzione:
[tex]f(x)=ln (e^{2x} - 3e^{x} - 3)-|x|[/tex]
Da notare che, purtroppo, la trattazione di una funzione così complessa non è stata mai affrontata in classe, a lezione, ma al più, separatamente, abbiamo appreso che:
- l'argomento del logaritmo va posto >0;
- gli esponenziali hanno come dominio tutto l'asse dei numeri reali;
- il valore assoluto va posto nel duplice caso : +x; -x.
Ma come assemblare tutto insieme in un'unica funzione?
Grazie.
Vorrei chiederVi, gentilmente, alcune delucidazioni circa il calcolo di dominio ed eventuale segno di questa particolare funzione:
[tex]f(x)=ln (e^{2x} - 3e^{x} - 3)-|x|[/tex]
Da notare che, purtroppo, la trattazione di una funzione così complessa non è stata mai affrontata in classe, a lezione, ma al più, separatamente, abbiamo appreso che:
- l'argomento del logaritmo va posto >0;
- gli esponenziali hanno come dominio tutto l'asse dei numeri reali;
- il valore assoluto va posto nel duplice caso : +x; -x.
Ma come assemblare tutto insieme in un'unica funzione?
Grazie.
Risposte
In questo caso puoi studiare l'argomento del logaritmo ponendolo $>=0$ e basta. Il $|x|$ è definito in $R$ ...
Innanzitutto grazie per la risposta!
Dunque, posso porre [tex]e^{2x} - 3e^{x} -3 >= 0[/tex] , il che, di per sé, non è gia definito per tutto R?
Dunque, posso porre [tex]e^{2x} - 3e^{x} -3 >= 0[/tex] , il che, di per sé, non è gia definito per tutto R?
Scusa c'è un errore, devi porlo solo $>$ ho sbagliato a scrivere 
"MatGeo":
Innanzitutto grazie per la risposta!
Dunque, posso porre [tex]e^{2x} - 3e^{x} -3 >= 0[/tex] , il che, di per sé, non è gia definito per tutto R?
$ e^{2x} - 3e^{x} -3 > 0$
Certo, però vale in maggiore stretto (l'argomento del logaritmo deve essere positivo... ma non nullo...)...
Benissimo, grazie per la correzione e per la gentilezza...
Ricapitolando:
Come dominio abbiamo tutto l'asse dei numeri reali;
Il segno dovrebbere essere positivo per ogni x appartenente a R;
Per calcolare asintoti e derivate, invece, mantenendo inalterato il resto,
dobbiamo sviluppare i due casi del valore assoluto, cioè una volta +x, l'altra -x.
Sbaglio?
Un'ultima cosa sul calcolo della derivata di un esponenziale del tipo:
[tex]f(x)= e^{2x}[/tex]
E' sempre il coefficiente dell'esponente non naturale ad andare a moltiplicare?
-> [tex]f'(x)=2e^{2x}[/tex] (?)
Ricapitolando:
Come dominio abbiamo tutto l'asse dei numeri reali;
Il segno dovrebbere essere positivo per ogni x appartenente a R;
Per calcolare asintoti e derivate, invece, mantenendo inalterato il resto,
dobbiamo sviluppare i due casi del valore assoluto, cioè una volta +x, l'altra -x.
Sbaglio?
Un'ultima cosa sul calcolo della derivata di un esponenziale del tipo:
[tex]f(x)= e^{2x}[/tex]
E' sempre il coefficiente dell'esponente non naturale ad andare a moltiplicare?
-> [tex]f'(x)=2e^{2x}[/tex] (?)
E' una funzione composta... La derivata della funzione esterna per la derivata dell'argomento. Comunque sì, è giusta la derivata.
"MatGeo":
Come dominio abbiamo tutto l'asse dei numeri reali;
Sicuro che $e^{2x}-3e^x -3>0$ vale $\forall x\in \RR$?
[size=75]Tanto per fare un esempio, se $x=0$ il risultato è $1-3-3=-5$ che non è positivo...[/size]
Ti conviene calcolarti il dominio facendo una posizione... $e^x=t$ e procedi...
"Zero87":
[quote="MatGeo"]Come dominio abbiamo tutto l'asse dei numeri reali;
Sicuro che $e^{2x}-3e^x -3>0$ vale $\forall x\in \RR$?
[size=75]Tanto per fare un esempio, se $x=0$ il risultato è $1-3-3=-5$ che non è positivo...[/size][/quote]
In effetti sono stato un pò frettoloso, mi sono accorto del fatidico 0 troppo tardi.
Dunque, possiamo porlo come valido per ogni x appartenente a R, escluso lo zero?
Scusatemi, ma ho qualche certezza in meno adesso...
"bambolettaokkiverdi":
Ti conviene calcolarti il dominio facendo una posizione... $e^x=t$ e procedi...
Infatti, io ho preso $x=0$ per farti capire che la tua soluzione è stata un po' frettolosa non per dirti che lo zero è l'unico elemento non nel dominio. Il modo di procedere te lo ha suggerito bambolettaokkiverdi.
"Zero87":
[quote="bambolettaokkiverdi"]Ti conviene calcolarti il dominio facendo una posizione... $e^x=t$ e procedi...
Infatti, io ho preso $x=0$ per farti capire che la tua soluzione è stata un po' frettolosa non per dirti che lo zero è l'unico elemento non nel dominio. Il modo di procedere te lo ha suggerito bambolettaokkiverdi.[/quote]
Stavolta, salvo ulteriori incomprensioni, credo di aver colto il senso:
Va posta come disequazione di secondo grado nella forma [tex]t^{2} -3t-3>0[/tex].
Sapete, provenendo da un liceo classico un po' di difficoltà la si incontra.
Soprattutto nell'affrontare certe situazioni un po' particolari, che prevedono una certa dimestichezza matematica.
Vi ringrazio moltissimo per l'aiuto e per la pazienza dimostrata!
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