Dominio di funzione
1) La funzione $f(x)=x^\frac{3}{5}(x+1)^\frac{2}{5}$ non dovrebbe essere definita su tutto R? Dopotutto scrivendo in forma di radicale si ottiene
$f(x)=\root(5)(x^3(x+1)^2)$ e la radice quinta esiste per QUALSIASI numero reale!
Il dominio dunque dovrebbe essere tutto R! E invece no, per curiosità ho tracciato il grafico della funzione per mezzo di piu di un programmino, e con sorpresa mi sono accorto che per x<0 NON ESISTE LA FUNZIONE! Com'è possibile?
$f(x)=\root(5)(x^3(x+1)^2)$ e la radice quinta esiste per QUALSIASI numero reale!
Il dominio dunque dovrebbe essere tutto R! E invece no, per curiosità ho tracciato il grafico della funzione per mezzo di piu di un programmino, e con sorpresa mi sono accorto che per x<0 NON ESISTE LA FUNZIONE! Com'è possibile?
Risposte
Con l'esponente frazionario di solito si pone la base maggiore di zero (il perchè lo si faccia anche in questi casi te lo dirà qualcuno più esperto di me). Quindi ti viene un sistema fra $x>0$ e $x> -1$ e quindi il dominio risulta essere $x>0$.
Non sono convinta di questa affermazione...
Un'esponente frazionario, come già sapete, non è altro che un radicale. La condizione "radicando >= 0" deve essere imposta se il denominatore dell'esponente è pari, altrimenti non si impongono condizioni..
Ma il programma diceva che non esisteva la funzione o ha considerato un solo intervallo di R, magari solo quello positivo...?
Anch'io sono perplessa.
Bea
Un'esponente frazionario, come già sapete, non è altro che un radicale. La condizione "radicando >= 0" deve essere imposta se il denominatore dell'esponente è pari, altrimenti non si impongono condizioni..
Ma il programma diceva che non esisteva la funzione o ha considerato un solo intervallo di R, magari solo quello positivo...?
Anch'io sono perplessa.
Bea
Chiedo scusa. Calcoliamo la f(-150)
$f(-150)=root(5)(-150^3(-149)^2)$. allora. Esiste o non esiste? Eppure il pc dice che nel punto -150 la funzione è NON DEFINITA...
$f(-150)=root(5)(-150^3(-149)^2)$. allora. Esiste o non esiste? Eppure il pc dice che nel punto -150 la funzione è NON DEFINITA...
Come più volte emerso su questo forum, mai usare il pc per determinare un insieme di definizione. Chi programma software di calcolo per pc infatti assume sempre che l'utente sappia cosa sta facendo, e in particolare che sappia dove sono definite le funzioni che usa. Vedi
https://www.matematicamente.it/forum/der ... 36572.html
https://www.matematicamente.it/forum/der ... 36572.html
Ok Grazie! Quindi è definito su tutto R e il pc si sbaglia! Ergo non sono impazzito!:)
Sempre puntualissimo dissonance 
Quindi la base dell'esponente si pone maggiore di zero solo se compare l'incognita anche ad esponente vero?
Quindi la base dell'esponente si pone maggiore di zero solo se compare l'incognita anche ad esponente vero?
No, purtroppo non è così. Devi chiarire bene cosa stai facendo, anche se ti potrebbero avere insegnato qualche deleteria scorciatoia. Il problema, formalmente, è stabilire per quali $x$ e $y$ abbia senso l'espressione
$x^y$.
Una maniera sicura di procedere è osservare che, quando $x>0$, possiamo con sicurezza scrivere
$x^y:=e^{y log x}$
($:=$ è una scrittura che non amo particolarmente, ma che significa "uguale per definizione") e questo ha perfettamente senso. Il problema è: e se $x<=0$, cosa ne facciamo di $x^y$? Lo lasciamo indefinito? E' un peccato perché, ad esempio, se $y=2$ ha senso
$x^2:=x*x$,
qualsiasi sia $x$. Conveniamo quindi di definire, per ogni $x$ reale e $n$ intero, $n>=1$
$x^n:=x*x*...*x$,
che poi è la naturale definizione di potenza, a noi familiare. Chiamando, per $x!=0$,
$x^{-1}=1/x$
si può estendere la definizione precedente anche a $n$ interi negativi a patto che $x!=0$.
Infine, un ultimo caso, quello più controverso. Se $y=1/n$, dove $n$ è un intero dispari, per ogni $x$ reale esiste un unico numero reale la cui potenza $n$-esima sia $x$, e convenzionalmente questo si indica con $root(n)(x)$. Conveniamo quindi di definire, per ogni $x$ reale e $n$ intero dispari
$x^{1/n}:=root(n)(x)$.
Riassumendo:
se $x>0$, $x^y$ è definita per qualsiasi $y$;
se $x<=0$, $x^y$ è definita quando $y$ è intero positivo oppure della forma $y=1/n$ con $n$ intero dispari;
se $x<0$, $x^y$ è definita anche quando $y$ è intero negativo.
Queste sono le convenzioni che si usano più spesso. Ma sono molto meno importanti di quanto si pensi.
$x^y$.
Una maniera sicura di procedere è osservare che, quando $x>0$, possiamo con sicurezza scrivere
$x^y:=e^{y log x}$
($:=$ è una scrittura che non amo particolarmente, ma che significa "uguale per definizione") e questo ha perfettamente senso. Il problema è: e se $x<=0$, cosa ne facciamo di $x^y$? Lo lasciamo indefinito? E' un peccato perché, ad esempio, se $y=2$ ha senso
$x^2:=x*x$,
qualsiasi sia $x$. Conveniamo quindi di definire, per ogni $x$ reale e $n$ intero, $n>=1$
$x^n:=x*x*...*x$,
che poi è la naturale definizione di potenza, a noi familiare. Chiamando, per $x!=0$,
$x^{-1}=1/x$
si può estendere la definizione precedente anche a $n$ interi negativi a patto che $x!=0$.
Infine, un ultimo caso, quello più controverso. Se $y=1/n$, dove $n$ è un intero dispari, per ogni $x$ reale esiste un unico numero reale la cui potenza $n$-esima sia $x$, e convenzionalmente questo si indica con $root(n)(x)$. Conveniamo quindi di definire, per ogni $x$ reale e $n$ intero dispari
$x^{1/n}:=root(n)(x)$.
Riassumendo:
se $x>0$, $x^y$ è definita per qualsiasi $y$;
se $x<=0$, $x^y$ è definita quando $y$ è intero positivo oppure della forma $y=1/n$ con $n$ intero dispari;
se $x<0$, $x^y$ è definita anche quando $y$ è intero negativo.
Queste sono le convenzioni che si usano più spesso. Ma sono molto meno importanti di quanto si pensi.
Molto interessante e preciso. Ti ringrazio molto
Scusate se mi aggiungo, ma se ho una cosa del genere
$f(x) = a^x$ perchè devo imporre necessariamente che a>0? So bene che se a è negativo e x è pari la funzione non esiste, ma c'è da dire che se x e dispari la funzione esisterebbe cmq...
$f(x) = a^x$ perchè devo imporre necessariamente che a>0? So bene che se a è negativo e x è pari la funzione non esiste, ma c'è da dire che se x e dispari la funzione esisterebbe cmq...
Ho riletto la risposta di Mister Dissonanza, potete cancellare il mio ultimo (stupido) intervento
Guarda che $x$ in quel caso è reale. Già non avrebbe senso chiedersi se $\sqrt{2}$ sia pari o dispari! In ogni caso, il problema nel richiedere $a>0$ sta nel fatto che la potenza con esponente reale non si può definire con la stessa "naturalezza" di quella con esponente frazionario.
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