Dominio di funzione
Una provocazione: qual e' il dominio della funzione $\frac{x}{\sqrt{x-1}}$? Lo zero vi appartiene oppure no?
Risposte
"Sandokan.":
Una provocazione: qual e' il dominio della funzione $\frac{x}{\sqrt{x-1}}$? Lo zero vi appartiene oppure no?
Certo che no. Per $x=0$ il denominatore non è definito (do per scontato che stiamo parlando di funzioni reali di variabile reale): nemmeno la frazione può esserlo.
"Lorenzo Pantieri":
[quote="Sandokan."]Una provocazione: qual e' il dominio della funzione $\frac{x}{\sqrt{x-1}}$? Lo zero vi appartiene oppure no?
Certo che no. Per $x=0$ il denominatore non è definito (do per scontato che stiamo parlando di funzioni reali di variabile reale): nemmeno la frazione può esserlo.[/quote]
quoto in pieno. Infatti, deve essere $x-1>0$ cioè $x>1$, per l'esistenza del radicando (che non deve essere nullo, in quanto è un denominatore).
Saluti. Pol 90
"Sandokan.":
Una provocazione: qual e' il dominio della funzione $\frac{x}{\sqrt{x-1}}$? Lo zero vi appartiene oppure no?
Non ho capito una cosa: dove sta la provocazione?
"Tipper":
Non ho capito una cosa: dove sta la provocazione?
Quoto.
Per me la provocazione sta nel fatto che per $x=0$ il numeratore di quella frazione si annulla, eppure la frazione non si annulla (in quanto non è definita).
Ah ho capito... Il fatto è che appena ho letto il topic ho pensato a qualcosa del genere, solo che non sapevo come potesse entrarci (e in effetti non c'entra una mazza 
).
).
Sei rimasto "traumatizzato" allora!
"Lorenzo Pantieri":
[quote="Sandokan."]Una provocazione: qual e' il dominio della funzione $\frac{x}{\sqrt{x-1}}$? Lo zero vi appartiene oppure no?
Certo che no. Per $x=0$ il denominatore non è definito (do per scontato che stiamo parlando di funzioni reali di variabile reale): nemmeno la frazione può esserlo.[/quote]
Per me invece lo zero appartiene al dominio. Infatti e' vero che non sappiamo che significato dare a $\frac{0}{\sqrt{-1}}$ se rimaniamo in $RR$, pero' e' anche vero che esistono pure i numeri complessi, che quel calcolo si puo' fare in $CC$ e che $\frac{0}{\sqrt{-1}} = 0 \in RR$. Operando in questo modo, non facciamo altro che seguire una pratica comunissima in matematica: per esempio, se si vuol dimostrare che in uno spazio $S$ esiste un certo oggetto $x$, spesso e' piu' comodo considerare uno spazio $S'$ includente $S$ e tale che $x$ esista in $S'$, e poi far vedere che $x$ in realta' appartiene a $S$.
"Sandokan.":
[quote="Lorenzo Pantieri"][quote="Sandokan."]Una provocazione: qual e' il dominio della funzione $\frac{x}{\sqrt{x-1}}$? Lo zero vi appartiene oppure no?
Certo che no. Per $x=0$ il denominatore non è definito (do per scontato che stiamo parlando di funzioni reali di variabile reale): nemmeno la frazione può esserlo.[/quote]
Per me invece lo zero appartiene al dominio. Infatti e' vero che non sappiamo che significato dare a $\frac{0}{\sqrt{-1}}$ se rimaniamo in $RR$, pero' e' anche vero che esistono pure i numeri complessi, che quel calcolo si puo' fare in $CC$ e che $\frac{0}{\sqrt{-1}} = 0 \in RR$. Operando in questo modo, non facciamo altro che seguire una pratica comunissima in matematica: per esempio, se si vuol dimostrare che in uno spazio $S$ esiste un certo oggetto $x$, spesso e' piu' comodo considerare uno spazio $S'$ includente $S$ e tale che $x$ esista in $S'$, e poi far vedere che $x$ in realta' appartiene a $S$.[/quote]
ci avrei giurato che spuntavano fuori i complessi...
se da un punto di vista formale quanto detto da Sandokan è corretto, io credo che debbano comunque essere ribadita DUE considerazioni ancora più importanti
1. c'è un contesto in cui si situa il ragionamento. "Tutti" davano per scontato che si fosse in $RR$. Ovvero, che $x$ prendesse valori in $RR$. Non, che so, in un generico campo... O, esagerando un poco, che $\sqrt$ fosse il simbolo di radice quadrata e non volesse dire, che so, "aggiungi una capra al "radicando"".
Usualmente, per fortuna, il contesto è noto senza ambiguità. Altrimenti ci dovemmo portare dietro una serie di carabattole che non ci permetterebbero praticamente neanche di muoverci.
Certo, in un post "spot", il contesto manca. O si può giocare sull'ambiguità. Ma il giochino finisce qui.
2. le cosine "spot" servono a poco. Se uso funzioni definite su $CC$, non cavo granché dall'osservare che una funzione in un punto assume un valore che, per caso, ha parte immaginaria nulla. E' solo una curiosità spicciola. Più rilevante è semmai notare che siamo di fronte ad una "funzione" polidroma, e mettersi a lavorare in quel contesto.
Anche se l'esempio di Sandokan ha un antecedente illustrissimo: i complessi sono stati tirati fuori perché le formule di risoluzione delle equazioni di terzo grado "obbligavano" a lavorare con radici di numeri negativi, fornendo alla fine un risultato reale
PS: l'argomento meriterebbe una disamina più profonda, ma non ho tempo...
E' vero che non l'ho detto esplicitamente, ma la funzione da me indicata si deve intendere come una funzione reale di variabile reale. La questione e', se sia lecito usare i complessi per eseguire il calcolo di $\frac{0}{\sqrt{-1}}$.
Comunque ringrazio Fioravante per l'attenzione.
Comunque ringrazio Fioravante per l'attenzione.
"Sandokan.":
E' vero che non l'ho detto esplicitamente, ma la funzione da me indicata si deve intendere come una funzione reale di variabile reale. La questione e', se sia lecito usare i complessi per eseguire il calcolo di $\frac{0}{\sqrt{-1}}$.
se questa è la domanda precisa, la risposta lo è altrettanto: NO
se è "di variabile reale" come fai ad usare un numero complesso?
Un piccolo refuso nell'intervento precedente: se la funzione è "reale" non può assumere valori complessi.
Potrebbe essere una funzione complessa di variabile reale.
Comunque, secondo me, se anche $f(x)$ fosse una funzione reale di variabile reale, lo $0$ andrebbe incluso
nel dominio. Infatti $f(0)=0$, che è reale, indipendentemente dal modo di calcolarla.
Potrebbe essere una funzione complessa di variabile reale.
Comunque, secondo me, se anche $f(x)$ fosse una funzione reale di variabile reale, lo $0$ andrebbe incluso
nel dominio. Infatti $f(0)=0$, che è reale, indipendentemente dal modo di calcolarla.
la f è ottenuta componendo varie funzioni elementari
quindi per capire qual è l'insieme di definizione di f dobbiamo intersecare i vari domini
quindi D=]1,+inf[
amen
quindi per capire qual è l'insieme di definizione di f dobbiamo intersecare i vari domini
quindi D=]1,+inf[
amen
"Sandokan.":
[quote="Lorenzo Pantieri"][quote="Sandokan."]Una provocazione: qual e' il dominio della funzione $\frac{x}{\sqrt{x-1}}$? Lo zero vi appartiene oppure no?
Certo che no. Per $x=0$ il denominatore non è definito (do per scontato che stiamo parlando di funzioni reali di variabile reale): nemmeno la frazione può esserlo.[/quote]
Per me invece lo zero appartiene al dominio.
[/quote]
Ti ha già risposto Fioravante. Se la funzione è reale di variabile reale, tutti i simboli vanno considerati in campo reale (in particolare, l'argomento della radice quadrata deve essere positivo): il dominio è $x>1$. Se invece $x$ è un numero complesso, cambia tutto, naturalmente: il dominio della funzione è $x\ne 1$.
"elgiovo":
Un piccolo refuso nell'intervento precedente: se la funzione è "reale" non può assumere valori complessi.
Potrebbe essere una funzione complessa di variabile reale.
Comunque, secondo me, se anche $f(x)$ fosse una funzione reale di variabile reale, lo $0$ andrebbe incluso
nel dominio. Infatti $f(0)=0$, che è reale, indipendentemente dal modo di calcolarla.
Confermo che si tratta di una funzione reale di variabile reale. Il punto della questione e' stato pienamente colto da Elgiovo. Dopotutto, la funzione $n \in ZZ \mapsto [\int_0^1 sin nx dx]$, dove con $[r]$ indico il piu' piccolo intero $<= r$, e' una funzione di $ZZ$ in $ZZ$, anche se per eseguire il calcolo abbiamo bisogno di usare i numeri reali!
Io la vedo così: (modulo il fatto che non sono una fonte attendibile) una frazione è definita laddove sono definiti numeratore e denominatore e contemporaneamente il denominatore non si annulla. In questo caso:
- il numeratore è definito nell'insieme $A_1 = \mathbb{R}$
- il denominatore è definito nell'insieme $A_2 = \{x \in \mathbb{R}: x \ge 1\}$
- il denominatore si annulla nell'insieme $A_3 = \{1\}$
pertanto il dominio della $f$, in quanto funzione reale di variabile reale, è $(A_1 \cap A_2) \setminus A_3$, che coincide proprio con l'insieme $\{x \in \mathbb{R}: x > 1\}$.
- il numeratore è definito nell'insieme $A_1 = \mathbb{R}$
- il denominatore è definito nell'insieme $A_2 = \{x \in \mathbb{R}: x \ge 1\}$
- il denominatore si annulla nell'insieme $A_3 = \{1\}$
pertanto il dominio della $f$, in quanto funzione reale di variabile reale, è $(A_1 \cap A_2) \setminus A_3$, che coincide proprio con l'insieme $\{x \in \mathbb{R}: x > 1\}$.
È una questione di convenzioni. Quando si dice: "consideriamo la funzione reale di variabile reale", di solito si richiede implicitamente che tutte le espressioni che la compongono abbiano senso e siano definite in $\RR$ (è quello che fa Tipper). Se si abbandona questa richiesta (che, ripeto, è la regola), 0 ce lo puoi mettere.
"Lorenzo Pantieri":
È una questione di convenzioni. Quando si dice: "consideriamo la funzione reale di variabile reale", di solito si richiede implicitamente che tutte le espressioni che la compongono abbiano senso e siano definite in $\RR$ (è quello che fa Tipper). Se si abbandona questa richiesta (che, ripeto, è la regola), 0 ce lo puoi mettere.
Va da se' che formalizzare una richiesta come quella da te indicata non dev'essere troppo facile...
In effetti, lo scopo del mio post era far vedere che gli esercizi del tipo ''trovare il dominio della funzione...'' sono in genere viziati da un'ambiguita' di fondo.
"Sandokan.":
Va da se' che formalizzare una richiesta come quella da te indicata non dev'essere troppo facile...
In effetti, lo scopo del mio post era far vedere che gli esercizi del tipo ''trovare il dominio della funzione...'' sono in genere viziati da un'ambiguita' di fondo.
Su questo sono d'accordo. Pensa alla funzione $x^x$: trovare il "dominio naturale" (inteso come l'insieme di tutti i valori per cui la funzione ha senso) è davvero arduo (e probabilmente inutile)! Per esempio $x=-\frac{1}{2}$ non ne fa parte, ma $x=-\frac{1}{3}$ sì. Anzi, nel solo intervallo $(-1,0)$, non dovrebbe essere difficile dimostrare l'esistenza di infiniti punti che stanno nel dominio e di infiniti altri che non ci stanno. Un casino. Generalmente, si taglia la testa al toro e si assume senz'altro $x>0$. Si "perde qualcosa", ma l'analisi è più agevole.
"elgiovo":
Comunque, secondo me, se anche $f(x)$ fosse una funzione reale di variabile reale, lo $0$ andrebbe incluso
nel dominio. Infatti $f(0)=0$, che è reale, indipendentemente dal modo di calcolarla.
tanto per parlar chiaro, questa è una fesseria colossale
la funzione di cui stiamo parlando era stata definita così: $\frac{x}{\sqrt{x-1}}$
ebbene, se sono nel contesto delle funzioni reali di variabile reale, il simbolo $\sqrt$ indica la radice aritmetica che è definita solo quando il radicando è maggiore o uguale di zero. Quindi, la formula che è stata usate per definire $f$ in $0$ non ha senso (che, poi, è quello già detto da Lorenzo Pantieri e da Tipper). STOP
"Sandokan.":
Confermo che si tratta di una funzione reale di variabile reale. Il punto della questione e' stato pienamente colto da Elgiovo.
ovviamente non sono d'accordo con Sandokan, che evidentemente non ha tenuto conto dell'uso del simbolo $\sqrt$.
"Sandokan.":
Dopotutto, la funzione $n \in ZZ \mapsto [\int_0^1 sin nx dx]$, dove con $[r]$ indico il piu' piccolo intero $<= r$, e' una funzione di $ZZ$ in $ZZ$, anche se per eseguire il calcolo abbiamo bisogno di usare i numeri reali!
invece quanto detto qui sopra è del tutto corretto
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