Dominio di esistenza di questa funzione

smartmouse
Salve, ho questa funzione:




Devo calcolare il dominio di esistenza e ho fatto il sistema tra:












Dimentico qualcosa dal momento che non sò come regolarmi con funzioni che presentano un valore assoluto?

Risposte
_Tipper
Direi che va bene così.

_Tipper
Comunque, dal momento che nel sistema c'è $\frac{x-sqrt(x^2-2x-1)}{x-x^2}>0$ la condizione $x-x^2 \ne 0$ è ridondante.

smartmouse
"Tipper":
Comunque, dal momento che nel sistema c'è $\frac{x-sqrt(x^2-2x-1)}{x-x^2}>0$ la condizione $x-x^2 \ne 0$ è ridondante.


Cosa vuol dire?
Scusate la mia ignoranza.

_Tipper
Vuol dire che è superflua.
Studiando la disequazione $\frac{x-\sqrt(x^2-2x-1)}{x-x^2}>0$ implicitamente studi anche $x-x^2 \ne 0$, quindi, elencando nelle condizioni di esistenza $x-x^2 \ne 0$, è come se facessi una ripetizione, tutto qui.

smartmouse
"Tipper":
Vuol dire che è superflua.
Studiando la disequazione $\frac{x-\sqrt(x^2-2x-1)}{x-x^2}>0$ implicitamente studi anche $x-x^2 \ne 0$, quindi, elencando nelle condizioni di esistenza $x-x^2 \ne 0$, è come se facessi una ripetizione, tutto qui.


Ah ho capito, scusate :-D
Cmq ho avuto problemi con questo esercizio, spero che mi possiate aiutare:


Il risultato che ottengo alla (1) è: 0

Il risultato della (2) è: -2 (i segni >< con le equivalenze)

(3): x<0 U 1 (qui credo di aver sbagliato ma non sono riuscito a trovare l'errore)

(4): come si fa? Io ho trovato che x è diverso da 0 e 1

(5): x<(2-radical8/2) U x>(2+radical8/2) (i segni >< con le equivalenze)

_Tipper
$|1-x|>0$ è verificato per $x \ne 1$, infatti un valore assoluto è strettamente positivo quando è diverso da zero.
$log|1-x| \le 1$ significa, al solito, |x \ne 1|, inoltre $|1-x| \le e$, ora si tratta solo di spezzare il valore assoluto e calcolare le soluzioni, e il gioco è fatto.
Per quanto riguarda la frazione la parte più difficile è lo studio della positività del numeratore:
$\sqrt(x^2-2x-1) < x$.
Dato che una radice è sempre positiva, $x$ deve essere necessariamente positivo, quindi questa disequazione si risolve imponendo questo sistema:
$\{(x>0, "la radice non può essere minore di un negativo"),(x^2-2x-1 \ge 0, "il radicando deve essere maggiore o uguale a zero"),(x^2-2x-1 Non ho fatto i conti, quindi non so se i risultati che hai dato sono giusti oppure no.

_nicola de rosa
1)|1-x|>0 per ogni x diverso da 1
2)1-Log(|1-x|)>=0->Log(|1-x|)<=1->0<|1-x|<=10->-9<=x<=11 con x diverso da 1 (ho inteso 10 come base del log)
3)x^2-2x-1>=0->x<=(1-sqrt(2)) U x>=(1+sqrt(2))
4)(x-sqrt(x^2-2x-1))/(x-x^2)>0
Il 4) lo risolviamo col falso sistema:
x-sqrt(x^2-2x-1)>0->sqrt(x^2-2x-1) x^2-2x-1>0 , x>0, x^2-2x-11+sqrt(2)

inoltre x-x^2>0->0 Mettendo assieme e considerando la 3), la 4) è vera per x<1-sqrt(2) U 1
Il dominio finale è allora, mettendo le 1),2),3) e 4) a sistema:-9<=x<=1-sqrt(2)

smartmouse
"smartmouse":

1)

2)

3)

4)

5)


Ricapitolando:

1) x diverso da 1... e fin qui tutto bene.

2) avevo dimenticato di riportare la base del logaritmo; il logaritmo era appunto in base 3 ed il risultato che ottengo è: -2<=x<=4. E' corretto?

3) ho imposto numeratore e denominatore della disequazione > 0

N>0 => 1+sqrt(2)
D>0 => 0

E' giusto fin qui?

4) il risultato che ottengo è: x<=1-sqrt(2) U x>=1+sqrt(2)

5) Ho capito che è ridondante, ma come si risolve?

Grazie.

_nicola de rosa
"smartmouse":
[quote="smartmouse"]
1)

2)

3)

4)

5)


Ricapitolando:

1) x diverso da 1... e fin qui tutto bene.



2) avevo dimenticato di riportare la base del logaritmo; il logaritmo era appunto in base 3 ed il risultato che ottengo è: -2<=x<=4. E' corretto?

3) ho imposto numeratore e denominatore della disequazione > 0

N>0 => 1+sqrt(2)
D>0 => 0

E' giusto fin qui?

4) il risultato che ottengo è: x<=1-sqrt(2) U x>=1+sqrt(2)

5) Ho capito che è ridondante, ma come si risolve?

Grazie.[/quote]

2) 0<|1-x|<=3 implica -2<=x<=4 con x diverso da 1
3) N>0-> x-sqrt(x^2-2x-1)>0->sqrt(x^2-2x-1) x^2-2x-1>0,x>0, x^2-2x-1 x^2-2x-1>0->x<1-sqrt(2) U x>1+sqrt(2)
x^2-2x-1 x>-1/2. Mettendo a sistema tutte e tre ottieni: x>1+sqrt(2)
D>0 ->00 e D>0, ottieni: x<0 U 1 4) x^2-2x-1>=0->x<=1-sqrt(2) U x>1+sqrt(2)
5)x-x^2 diverso da zero comporta x diverso da 0 e da 1

Mettendo allora tutte le condizioni assieme ritrovi tale dominio:
-2<=x<=1-sqrt(2)

Se c' è qualcosa di poco chiaro fammi sapere

smartmouse
Tutto chiaro, grazie mille :)

Però alla 2) aggiungere x diverso da 1 mi sembra superfluo dal momento che l'ho calcolato nella 1)... o forse è un errore ometterlo?

_Tipper
Se in precedenza avevi già posto $x \ne 1$ omettendolo non cambia il dominio, però la soluzione di $0<|1-x|\le3$ è $-2\le x \le 4$ con $x \ne 1$, quindi se ometti l'ultima parte in un compito un professore ti potrebbe segnare come errore la risoluzione della disequazione.
Quindi ti conviene mettercelo, tanto non ti costa niente.

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.