Dominio di definizione della funzione radice n-esima

[TheStodgyBaasan]

Facendo alcuni esercizi sui domini delle funzioni è saltata fuori una f(x)= $root(3)(x)$ . Sinceramente, l'ho completamente ignorata perché pensavo che anche per x negative fosse definita (alle superiori ho sempre fatto così perlomeno). Quando il prof. ha corretto l'esercizio alla lavagna, però, ha detto che è definita solo per x positive! Quando ha spiegato il perché ha detto così: il dominio della funzione f(x)=$root(n)(x)$ è $RR^+$ perché nel punto (0,0) non è definita (e qui non ho capito perché). Da come l'ha spiegato, però, può assumere valori negativi... semplicemente non è definita nell'origine.

Ho provato a cercare sia su libri di testo che sul web ma non ho trovato nulla (tranne questo:

Comunque, se pensi alla funzione radice n-esima di x come al valore dell'esponenziale di base x in 1/n, allora, poichè la base di un'esponenziale è sempre non negativa, prenderai x non negativo

ma non mi aiuta molto).

Qualcuno conosce il motivo dietro questo mistero?

Grazie!

[Seneca1]

A me risulta che sia definita nell'origine....

[TheStodgyBaasan]

E infatti non ho capito perché ha detto così... mi sa che gli chiederò di rispiegarmi tutto....

[TheStodgyBaasan]

Risolto... prima di tutto, mi ero spiegata male, la radice n-esima non è definita per n = 0 dal momento che $root(n)(x)$ può essere scritto anche come $x^(1/n)$ e ovviamente una frazione non può avere denominatore nullo.
Secondo, il professore mi ha spiegato che la funzione radice n-esima non è definita per valore negativi di x dato che:
scrivere $a^ \alpha$ equivale a dire $e^(\alpha ln a)$ . Se consideriamo $a^ \alpha = x^(1/n)$ allora n deve essere per forza maggiore di zero dato che in $RR$ l'argomento dei logaritmi è sempre positivo.


Grazie comunque

[dissonance]

Esatto. Infatti la situazione naturale è quella: la funzione potenza, essendo definita in termini di esponenziale e logaritmo, è definita solo quando la base è strettamente positiva. Sono possibili poi delle estensioni nel caso in cui l'esponente sia un numero razionale; per esempio la funzione \(x^{1/3}\) può considerarsi definita su tutto \(\mathbb{R}\).

[TheStodgyBaasan]

Infatti. Solo se consideriamo i logaritmi complessi x può assumere tutti i valori che vuole.

[gugo82]

"TheStodgyBaasan":Secondo, il professore mi ha spiegato che la funzione radice n-esima non è definita per valore negativi di x dato che scrivere $a^ \alpha$ equivale a dire $e^(\alpha ln a)$ . Se consideriamo $a^ \alpha = x^(1/n)$ allora n deve essere per forza maggiore di zero dato che in $RR$ l'argomento dei logaritmi è sempre positivo.

Beh, questa è questione di definizione.

Ci sono due modi di definire la potenza \(x^{1/n}\) per \(n\in \mathbb{N}\):

[*:16pwd9am] \(\sqrt[n]{x} =x^{1/n}:= \exp \left( \frac{1}{n}\ \ln x\right)\);

[/*:m:16pwd9am]
[*:16pwd9am] \(\sqrt[n]{x}:= \sup \{ \xi \in \mathbb{R}:\ \xi^n Si vede che se \(n\) è pari le due definizioni date sopra sono del tutto equivalenti.
Tuttavia, se \(n\) è dispari, la prima consente di definire \(\sqrt[n]{x}\) solo per \(x>0\), mentre la seconda consente di definire \(\sqrt[n]{x}\) per ogni \(x\in \mathbb{R}\).

D'altra parte, la prima definizione consente di effettuare le operazioni con le potenze in tutta tranquillità; mentre la seconda le rende un po' più difficoltose.

Adottare l'una o l'altra definizione è questione di gusti, cioè bisogna scegliere se dare la precedenza ad un insieme di definizione "più largo" oppure alla "comodità" di calcolo.