Dominio di convergenza
Ciao a tutti, su un vecchio testo d' esame ho trovato una domanda assolutamente nuova. Viene chiesto: dopo aver trovato la serie di Tylor attorno ad $x = 0$ di $f(x) = x^2e^(-2x)$ (e fin qui tutto ok), specificarne l' eventuale dominio di convergenza.
Ma cos' è il dominio di convergenza ??
Il primo termine dello sviluppo, diverso da zero è: $f(x) = x^2 + o(x^2)$
Grazie a tutti..
Ma cos' è il dominio di convergenza ??
Il primo termine dello sviluppo, diverso da zero è: $f(x) = x^2 + o(x^2)$
Grazie a tutti..
Risposte
Secondo me intervallo di convergenza, cerchio di convergenza, dominio di convergenza sono nomi diversi per la stessa cosa... Insomma, è l'intervallo in cui si ha convergenza totale della serie di potenze.
Quindi dovrei dedurre le serie di potenza associata a quella funzione attorno $x = 0$ guardandone lo sviluppo di Taylor, e poi studiarne la convergenza, se non ho capito male.. è che non so da dove cominciare..XD
Intanto comincia a scrivere lo sviluppo di Taylor (o MacLaurin, che dir si voglia) di [tex]$e^{-2x}$[/tex] di centro [tex]$0$[/tex], poi il resto vien da sé.
"gugo82":
Intanto comincia a scrivere lo sviluppo di Taylor (o MacLaurin, che dir si voglia) di [tex]$e^{-2x}$[/tex] di centro [tex]$0$[/tex], poi il resto vien da sé.
bè lo sviluppo di Taylor di $e^(-2x)$ è $1 -2x + 2x^2 - 4x^3 +..$
il punto è che non so proprio come impostare la serie, cioè, sò che le serie di potenza sono nella forza $\sum_{n=0}^+\infty a_n(x - c)^n$ dove $c$ è il centro. Ma per il resto non so cosa fare..
Scusate se insisto, ma le serie di potenze le abbiamo viste molto velocemente..
Scusa, ma una volta che hai ricordato lo sviluppo dell'esponenziale hai praticamente già finito! 
Allora, hai [tex]$f(x):=x^2 \ e^{-2x}$[/tex] e vuoi rappresentare la [tex]$f$[/tex] come serie [tex]$\sum a_n x^n$[/tex], giacché [tex]$x_0=0$[/tex] ti è assegnato come centro.
Il primo fattore nell'espressione di [tex]$f$[/tex], cioè [tex]$x^2$[/tex], è già in una forma "comoda" perchè è espresso come potenza di [tex]$x-x_0=x$[/tex], quindi basta armeggiare un po' per scrivere in forma "comoda" anche il secondo fattore, ossia [tex]$e^{-2x}$[/tex].
Visto che c'è un esponenziale, sembrerebbe il caso di aiutarsi con uno sviluppo notevole, ovvero:
[tex]$e^{y}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \ y^n$[/tex];
ora se poni [tex]$y=-2x$[/tex] ottieni immediatamente:
[tex]$e^{-2y}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \ (-2x)^n =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-2)^n}{n!} \ x^n$[/tex],
quindi hai:
[tex]$f(x)=x^2\ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-2)^n}{n!} \ x^n$[/tex]
sicché ti accorgi di aver quasi finito, perchè al secondo membro c'è un bel simbolo sommatorio e vi figurano tutte potenze del tipo "comodo" che ti interessa.
Ora devi dare il coup de grace.
Ricordando che [tex]$c\ \sum_n \alpha_n =\sum_n c\ \alpha_n$[/tex], possiamo "tirare dentro" il simbolo di sommatoria quel fattore [tex]$x^2$[/tex] e scrivere:
[tex]$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-2)^n}{n!} \ x^{n+2} =x^2-2x^3+2x^4-\frac{4}{3} \ x^5+\ldots +\frac{(-2)^n}{n!}\ x^{n+2} +\ldots$[/tex]
e questa è la serie di Taylor cercata.
Volendo si può fare una sostituzione dell'indice, ponendo [tex]$m=n+2 \to n=m-2$[/tex], e l'ultima somma si scrive:
[tex]$f(x)=\sum_{m=2}^{+\infty} \frac{(-2)^{m-2}}{(m-2)!} \ x^m$[/tex]
ma ciò non è proprio strettamente necessario.
P.S.: Per favore, si dice serie di potenze.
Le "serie di potenza" le studiano solo in Basilicata...
Allora, hai [tex]$f(x):=x^2 \ e^{-2x}$[/tex] e vuoi rappresentare la [tex]$f$[/tex] come serie [tex]$\sum a_n x^n$[/tex], giacché [tex]$x_0=0$[/tex] ti è assegnato come centro.
Il primo fattore nell'espressione di [tex]$f$[/tex], cioè [tex]$x^2$[/tex], è già in una forma "comoda" perchè è espresso come potenza di [tex]$x-x_0=x$[/tex], quindi basta armeggiare un po' per scrivere in forma "comoda" anche il secondo fattore, ossia [tex]$e^{-2x}$[/tex].
Visto che c'è un esponenziale, sembrerebbe il caso di aiutarsi con uno sviluppo notevole, ovvero:
[tex]$e^{y}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \ y^n$[/tex];
ora se poni [tex]$y=-2x$[/tex] ottieni immediatamente:
[tex]$e^{-2y}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \ (-2x)^n =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-2)^n}{n!} \ x^n$[/tex],
quindi hai:
[tex]$f(x)=x^2\ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-2)^n}{n!} \ x^n$[/tex]
sicché ti accorgi di aver quasi finito, perchè al secondo membro c'è un bel simbolo sommatorio e vi figurano tutte potenze del tipo "comodo" che ti interessa.
Ora devi dare il coup de grace.
Ricordando che [tex]$c\ \sum_n \alpha_n =\sum_n c\ \alpha_n$[/tex], possiamo "tirare dentro" il simbolo di sommatoria quel fattore [tex]$x^2$[/tex] e scrivere:
[tex]$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-2)^n}{n!} \ x^{n+2} =x^2-2x^3+2x^4-\frac{4}{3} \ x^5+\ldots +\frac{(-2)^n}{n!}\ x^{n+2} +\ldots$[/tex]
e questa è la serie di Taylor cercata.
Volendo si può fare una sostituzione dell'indice, ponendo [tex]$m=n+2 \to n=m-2$[/tex], e l'ultima somma si scrive:
[tex]$f(x)=\sum_{m=2}^{+\infty} \frac{(-2)^{m-2}}{(m-2)!} \ x^m$[/tex]
ma ciò non è proprio strettamente necessario.
P.S.: Per favore, si dice serie di potenze.
Le "serie di potenza" le studiano solo in Basilicata...
Ah grazie mille.. in effetti era piuttosto semplice, bastava avrci un pò di mano.. 
in effetti era piuttosto semplice, bastava avrci un pò di mano..
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