Dominio della funzione integrale
Salve a tutti
Ho un po' di problemi nel trovare il dominio di una funzione integrale nel caso un estremo sia g(x).
Se io ad esempio ho questo integrale: $ int_(1)^(lnx) e^{2t}/t $
per studiarne il dominio trovo prima il dominio della g(x) che in questo caso è lnx e poi come devo procedere?
Grazie
Ho un po' di problemi nel trovare il dominio di una funzione integrale nel caso un estremo sia g(x).
Se io ad esempio ho questo integrale: $ int_(1)^(lnx) e^{2t}/t $
per studiarne il dominio trovo prima il dominio della g(x) che in questo caso è lnx e poi come devo procedere?
Grazie
Risposte
prova a vedere qui se trovi qualche risposta...
https://www.matematicamente.it/forum/stu ... 38093.html
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già provato a guardare ma non ho trovato quello che mi interessava..
Nessuno che mi può dare un aiuto?
Devi verificare per quali valori di [tex]\ln (x)[/tex] l'integrale esiste finito.
Hai una funzione composta [tex]$g(f(x))$[/tex], in cui [tex]$g(y):=\int_1^y \frac{e^{t}}{t} \text{d} t$[/tex] ed [tex]$f(x):=\ln x$[/tex].
Innanzitutto devi determinare il dominio di [tex]$f$[/tex] e dominio di [tex]$g$[/tex]; poi devi stabilire per quali valori di [tex]$x$[/tex] nel dominio di [tex]$f$[/tex] si ha [tex]$f(x)$[/tex] nel dominio di [tex]$g$[/tex].
Evidentemente [tex]$f$[/tex] è definita in [tex]$]0,+\infty[$[/tex].
La funzione integrale [tex]$g$[/tex] è definita nel più grosso intervallo che contiene il punto iniziale [tex]$1$[/tex] in cui l'integrando [tex]$\psi(t):=\frac{e^{2t}}{t}$[/tex] è integrabile.
L'integrando è definito e continuo in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ 0\}$[/tex] ed in [tex]$0$[/tex] ha una discontinuità di seconda specie ([tex]$\lim_{t\to 0^\pm} \psi(t) =\pm \infty$[/tex]); inoltre per [tex]$t\to 0$[/tex] l'integrando è un infinito d'ordine [tex]$1$[/tex].
Per un noto criterio di sommabilità, [tex]$\psi$[/tex] non è sommabile in [tex]$0$[/tex]; quindi l'integrale [tex]$g(y)=\int_1^y \psi(t)\text{d} t$[/tex] ha senso solo se [tex]$y\in ]0,+\infty[$[/tex]. Quindi il dominio di [tex]$g$[/tex] è [tex]$y\in ]0,+\infty[$[/tex].
Per stabilire il dominio della funzione composta hai quindi da risolvere la disequazione [tex]$\ln x>0$[/tex], che non presenta nessuna difficoltà.
Innanzitutto devi determinare il dominio di [tex]$f$[/tex] e dominio di [tex]$g$[/tex]; poi devi stabilire per quali valori di [tex]$x$[/tex] nel dominio di [tex]$f$[/tex] si ha [tex]$f(x)$[/tex] nel dominio di [tex]$g$[/tex].
Evidentemente [tex]$f$[/tex] è definita in [tex]$]0,+\infty[$[/tex].
La funzione integrale [tex]$g$[/tex] è definita nel più grosso intervallo che contiene il punto iniziale [tex]$1$[/tex] in cui l'integrando [tex]$\psi(t):=\frac{e^{2t}}{t}$[/tex] è integrabile.
L'integrando è definito e continuo in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ 0\}$[/tex] ed in [tex]$0$[/tex] ha una discontinuità di seconda specie ([tex]$\lim_{t\to 0^\pm} \psi(t) =\pm \infty$[/tex]); inoltre per [tex]$t\to 0$[/tex] l'integrando è un infinito d'ordine [tex]$1$[/tex].
Per un noto criterio di sommabilità, [tex]$\psi$[/tex] non è sommabile in [tex]$0$[/tex]; quindi l'integrale [tex]$g(y)=\int_1^y \psi(t)\text{d} t$[/tex] ha senso solo se [tex]$y\in ]0,+\infty[$[/tex]. Quindi il dominio di [tex]$g$[/tex] è [tex]$y\in ]0,+\infty[$[/tex].
Per stabilire il dominio della funzione composta hai quindi da risolvere la disequazione [tex]$\ln x>0$[/tex], che non presenta nessuna difficoltà.
Grazie della spiegazione..
Non ho però capito il punto in cui parli del criterio della sommabilità, in quanto è la prima volta che ne sento parlare..
Se mi puoi chiarire questo passaggio te ne sarei grato
Non ho però capito il punto in cui parli del criterio della sommabilità, in quanto è la prima volta che ne sento parlare..
Se mi puoi chiarire questo passaggio te ne sarei grato
Beh, il criterio di sommabilità è una conseguenza semplice dei teoremi di confronto per l'integrale (esempio: [tex]$\text{$f\leq g$ in $[a,b]$} \Rightarrow \int_a^b f(t)\text{d} t \leq \int_a^b g(t) \text{d} t$[/tex]).
Ora cerco di spiegarti cosa succede con il tuo esempio.
L'integrando [tex]$\psi(t):=\frac{e^{2t}}{t}$[/tex] è un infinito d'ordine [tex]$1$[/tex] (rispetto a [tex]$\frac{1}{t}$[/tex]) per [tex]$t\to 0^+$[/tex]: infatti:
[tex]$\lim_{t\to 0^+} \frac{\psi(t)}{\frac{1}{t}} =\lim_{t\to 0^+} e^{2t}=1$[/tex];
ne consegue che esiste un intorno destro di [tex]$0$[/tex], diciamolo [tex]$]0,\delta]$[/tex] (con [tex]$0<\delta \leq 1$[/tex]), in cui si ha:
[tex]$\lvert \frac{\psi(t)}{\frac{1}{t}} -1\rvert <\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} < \frac{\psi(t)}{\frac{1}{t}} <\frac{3}{2}$[/tex]
quindi [tex]$\psi(t) > \frac{1}{2t}$[/tex] per [tex]$t\in ]0,\delta]$[/tex].
Fissato [tex]$0
[tex]$\int_y^\delta \psi(t) \text{d} t > \int_y^\delta \frac{1}{2t} \text{d} t =\left[ \frac{1}{2} \ln t\right]_y^\delta =\frac{\ln \delta -\ln y}{2}$[/tex];
passando al limite per [tex]$y\to 0^+$[/tex] i membri esterni della precedente catena si ha:
[tex]$\lim_{r\to 0^+} \int_r^\delta \psi(t) \text{d} t \geq \lim_{r\to 0^+} \frac{\ln \delta -\ln r}{2} =+\infty$[/tex]
sicché [tex]$\psi (t)$[/tex] non ha integrale improprio convergente in [tex]$[0,\delta]$[/tex] (ciò equivale a dire che [tex]$\psi$[/tex] non è sommabile -o assolutamente integrabile, che dir si voglia- in [tex]$[0,\delta]$[/tex], giacché [tex]$\psi$[/tex] è positiva a destra di [tex]$0$[/tex]).
Questo è quanto riesci a provare coi teoremi di confronto; e, praticamente, si condensa nel criterio di sommabilità che segue:
Ora vediamo come applicare questo risultato parziale al tuo caso.
Quanto trovato implica che [tex]$g(y)$[/tex] non si può prolungare su [tex]$0$[/tex]: infatti, supponiamo per assurdo che esista finito [tex]$\lim_{y\to 0} g(y) =\lim_{y\to 0} \int_1^y \psi(t) \text{d} t =-\lim_{y\to 0} \int_y^1 \psi(t) \text{d} t$[/tex]; possiamo scrivere:
[tex]$\int_y^1 \psi (t) \text{d} t =\int_y^\delta \psi(t) \text{d} t + \int_\delta^1 \psi (t) \text{d} t \quad \Rightarrow \quad \int_y^\delta \psi(t) \text{d} t =\int_y^1 \psi (t) \text{d} t -\int_\delta^1 \psi (t) \text{d} t$[/tex];
visto che [tex]$\int_\delta^1 \psi (t) \text{d} t$[/tex] è un numero reale, passando al limite per [tex]$y\to 0^+$[/tex] dalla precedente seguirebbe:
[tex]$\lim_{y\to 0^+} \int_y^\delta \psi(t) \text{d} t =-\int_\delta^1 \psi (t) \text{d} t +\lim_{y\to 0^+} \int_y^1 \psi (t) \text{d} t =-\int_\delta^1 \psi (t) \text{d} t-\lim_{y\to 0^+} g(y)$[/tex]
ossia che [tex]$\psi$[/tex] ha integrale improprio convergente in [tex]$[0,\delta]$[/tex]; ma ciò è assurdo, in quanto abbiamo mostrato che tale integrale improprio non converge.
Ne viene che [tex]$\lim_{y\to 0^+} g(y)$[/tex] non è finito o non esiste; però si ha:
[tex]$\lim_{y\to 0^+} g(y)=-\int_\delta^1 \psi (t) \text{d} t - \lim_{y\to 0^+} \int_y^\delta \psi(t) \text{d} t =-\int_\delta^1 \psi (t) \text{d} t -(+\infty)=-\infty$[/tex]
quindi [tex]$g(y) \to -\infty$[/tex] quando [tex]$y\to 0^+$[/tex].
Ora cerco di spiegarti cosa succede con il tuo esempio.
L'integrando [tex]$\psi(t):=\frac{e^{2t}}{t}$[/tex] è un infinito d'ordine [tex]$1$[/tex] (rispetto a [tex]$\frac{1}{t}$[/tex]) per [tex]$t\to 0^+$[/tex]: infatti:
[tex]$\lim_{t\to 0^+} \frac{\psi(t)}{\frac{1}{t}} =\lim_{t\to 0^+} e^{2t}=1$[/tex];
ne consegue che esiste un intorno destro di [tex]$0$[/tex], diciamolo [tex]$]0,\delta]$[/tex] (con [tex]$0<\delta \leq 1$[/tex]), in cui si ha:
[tex]$\lvert \frac{\psi(t)}{\frac{1}{t}} -1\rvert <\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} < \frac{\psi(t)}{\frac{1}{t}} <\frac{3}{2}$[/tex]
quindi [tex]$\psi(t) > \frac{1}{2t}$[/tex] per [tex]$t\in ]0,\delta]$[/tex].
Fissato [tex]$0
[tex]$\int_y^\delta \psi(t) \text{d} t > \int_y^\delta \frac{1}{2t} \text{d} t =\left[ \frac{1}{2} \ln t\right]_y^\delta =\frac{\ln \delta -\ln y}{2}$[/tex];
passando al limite per [tex]$y\to 0^+$[/tex] i membri esterni della precedente catena si ha:
[tex]$\lim_{r\to 0^+} \int_r^\delta \psi(t) \text{d} t \geq \lim_{r\to 0^+} \frac{\ln \delta -\ln r}{2} =+\infty$[/tex]
sicché [tex]$\psi (t)$[/tex] non ha integrale improprio convergente in [tex]$[0,\delta]$[/tex] (ciò equivale a dire che [tex]$\psi$[/tex] non è sommabile -o assolutamente integrabile, che dir si voglia- in [tex]$[0,\delta]$[/tex], giacché [tex]$\psi$[/tex] è positiva a destra di [tex]$0$[/tex]).
Questo è quanto riesci a provare coi teoremi di confronto; e, praticamente, si condensa nel criterio di sommabilità che segue:
Se [tex]$\psi :]a,b]$[/tex] è limitata fouri da [tex]$a$[/tex] (ossia limitata in ogni intervallo [tex]$[y,b] \subseteq ]a,b]$[/tex]), integrabile in ogni intervallo [tex]$[y,b] \subseteq ]a,b]$[/tex] e se [tex]$|\psi|$[/tex] è un infinito in [tex]$a$[/tex] d'ordine [tex]$\leq 1$[/tex], allora [tex]$|\psi|$[/tex] non ha integrale improprio convergente in [tex]$[a,b]$[/tex] o, come si suol dire, [tex]$\psi$[/tex] non è sommabile (o assolutamente integrabile) in [tex]$[a,b]$[/tex].
Viceversa se [tex]$|\psi|$[/tex] è un infinito in [tex]$a$[/tex] d'ordine maggiore di un [tex]$\alpha >1$[/tex], allora [tex]$|\psi|$[/tex] ha integrale improprio convergente in [tex]$[a,b]$[/tex] o, come si usa dire, [tex]$\psi$[/tex] è sommabile (o assolutamente integrabile) in [tex]$[a,b]$[/tex].
Ora vediamo come applicare questo risultato parziale al tuo caso.
Quanto trovato implica che [tex]$g(y)$[/tex] non si può prolungare su [tex]$0$[/tex]: infatti, supponiamo per assurdo che esista finito [tex]$\lim_{y\to 0} g(y) =\lim_{y\to 0} \int_1^y \psi(t) \text{d} t =-\lim_{y\to 0} \int_y^1 \psi(t) \text{d} t$[/tex]; possiamo scrivere:
[tex]$\int_y^1 \psi (t) \text{d} t =\int_y^\delta \psi(t) \text{d} t + \int_\delta^1 \psi (t) \text{d} t \quad \Rightarrow \quad \int_y^\delta \psi(t) \text{d} t =\int_y^1 \psi (t) \text{d} t -\int_\delta^1 \psi (t) \text{d} t$[/tex];
visto che [tex]$\int_\delta^1 \psi (t) \text{d} t$[/tex] è un numero reale, passando al limite per [tex]$y\to 0^+$[/tex] dalla precedente seguirebbe:
[tex]$\lim_{y\to 0^+} \int_y^\delta \psi(t) \text{d} t =-\int_\delta^1 \psi (t) \text{d} t +\lim_{y\to 0^+} \int_y^1 \psi (t) \text{d} t =-\int_\delta^1 \psi (t) \text{d} t-\lim_{y\to 0^+} g(y)$[/tex]
ossia che [tex]$\psi$[/tex] ha integrale improprio convergente in [tex]$[0,\delta]$[/tex]; ma ciò è assurdo, in quanto abbiamo mostrato che tale integrale improprio non converge.
Ne viene che [tex]$\lim_{y\to 0^+} g(y)$[/tex] non è finito o non esiste; però si ha:
[tex]$\lim_{y\to 0^+} g(y)=-\int_\delta^1 \psi (t) \text{d} t - \lim_{y\to 0^+} \int_y^\delta \psi(t) \text{d} t =-\int_\delta^1 \psi (t) \text{d} t -(+\infty)=-\infty$[/tex]
quindi [tex]$g(y) \to -\infty$[/tex] quando [tex]$y\to 0^+$[/tex].
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