Dominio della funzione
Ciao a tutti! Prima di porvi la mia domanda vorrei ringraziare tutti i membri che si impegnano a chiarire i nostri dubbi! Da quando sono iscritto a questo forum ho trovato sempre persone gentilissime che mi hanno tolto le castagne dal fuoco più di una volta. Quindi GRAZIE!
Passo ora alla domanda
Ho da calcolare il dominio della seguente funzione:
$sqrt(1-\log _(1/2)^2cosx)$
Come prima cosa devo porre l'argomento della radice >= di 0 e quello del logaritmo >0
Dunque:
$1-\log _(1/2)^2cosx>=0$
e
$cosx>0$
Per quanto riguarda la seconda, il cos è maggiore di zero per:
$0
$-\log _(1/2)^2cosx>=-1$
Cambio i segni ed il verso della disequazione:
$\log _(1/2)^2cosx<=1$
e scrivo 1 come:
$\log _(1/2)^2cosx<=\log _(1/2)^2(1/2)$
E già a questo punto iniziano i dubbi e le incertezze
Innanzitutto fino a questo punto è corretto?
Non so come comportarmi con quell'elevato al quadrato sul logaritmo, quindi tenderei ad ignorarlo (probabilmente sbagliando). Io passerei agli argomenti cambiando di nuovo il verso poichè la base del log è minore di 1 e scriverei:
$cosx>=1/2$
e dunque:
$0
Qualche anima gentile potrebbe aiutarmi? Ovviamente non intendo avere il dominio già calcolato ma mi interessa avere spiegazioni sul procedimento in modo da capire cosa fare e non limitarmi a copiare senza capire nulla.
Passo ora alla domanda
Ho da calcolare il dominio della seguente funzione:
$sqrt(1-\log _(1/2)^2cosx)$
Come prima cosa devo porre l'argomento della radice >= di 0 e quello del logaritmo >0
Dunque:
$1-\log _(1/2)^2cosx>=0$
e
$cosx>0$
Per quanto riguarda la seconda, il cos è maggiore di zero per:
$0
$-\log _(1/2)^2cosx>=-1$
Cambio i segni ed il verso della disequazione:
$\log _(1/2)^2cosx<=1$
e scrivo 1 come:
$\log _(1/2)^2cosx<=\log _(1/2)^2(1/2)$
E già a questo punto iniziano i dubbi e le incertezze
Innanzitutto fino a questo punto è corretto?
Non so come comportarmi con quell'elevato al quadrato sul logaritmo, quindi tenderei ad ignorarlo (probabilmente sbagliando). Io passerei agli argomenti cambiando di nuovo il verso poichè la base del log è minore di 1 e scriverei:
$cosx>=1/2$
e dunque:
$0
Qualche anima gentile potrebbe aiutarmi? Ovviamente non intendo avere il dominio già calcolato ma mi interessa avere spiegazioni sul procedimento in modo da capire cosa fare e non limitarmi a copiare senza capire nulla.
Risposte
se una qualsiasi "cosa", al quadrato, è minore di 1, vuol dire che la stessa cosa, senza quadrato, è compresa tra -1 e 1.
ripartendo da qui prova a correggere e continuare. ciao.
ripartendo da qui prova a correggere e continuare. ciao.
"adaBTTLS":
se una qualsiasi "cosa", al quadrato, è minore di 1, vuol dire che la stessa cosa, senza quadrato, è compresa tra -1 e 1.
ripartendo da qui prova a correggere e continuare. ciao.
Grazie mille! Allora ci provo:
$\log _(1/2)^2cosx<=1$
diventa
$-1<=\log _(1/2)cosx<=1$
quindi:
$-\log _(1/2)(1/2)<=\log _(1/2)cosx<=\log _(1/2)(1/2)$
poi passo agli argomenti:
$-1/2<=cosx<=1/2$
da cui:
$\pi/3<=x<=2/3\pi$ e $4/3\pi<=x<=5/3\pi$
che messo a sistema con $cosx>0$, cioè:
$0
$\pi/3<=x<\pi/2$ e $3/2\pi
Così è corretto???
Anzi no! Ho dimenticato di cambiare verso quando sono passato agli argomenti (poichè la base è <1).
Quindi dovrebbe essere:
$cosx<=-1/2$ e $cosx>=1/2$
da cui:
$0<=x<=\pi/3$ e $2/3\pi<=x<=4/3\pi$ e $5/3\pi<=x<=2\pi$
che messo a sistema come scritto nel messaggio precedente (con $cosx>0$)
danno come dominio:
$0
Così dovrebbe andare
E' giusto
Quindi dovrebbe essere:
$cosx<=-1/2$ e $cosx>=1/2$
da cui:
$0<=x<=\pi/3$ e $2/3\pi<=x<=4/3\pi$ e $5/3\pi<=x<=2\pi$
che messo a sistema come scritto nel messaggio precedente (con $cosx>0$)
danno come dominio:
$0
Così dovrebbe andare
E' giusto
C'è ancora un errore:
$- log_(1/2) (1/2) = log_(1/2) 2$
quindi $-\log _(1/2)(1/2)<=\log _(1/2)cosx<=\log _(1/2)(1/2)$ equivale a $log _(1/2) 2<=\log _(1/2)cosx<=\log _(1/2)(1/2)$ che, togliendo il logaritmo, diventa
$2>=cosx>= 1/2$ cioè
$1/2<=cos x <= 2$
$- log_(1/2) (1/2) = log_(1/2) 2$
quindi $-\log _(1/2)(1/2)<=\log _(1/2)cosx<=\log _(1/2)(1/2)$ equivale a $log _(1/2) 2<=\log _(1/2)cosx<=\log _(1/2)(1/2)$ che, togliendo il logaritmo, diventa
$2>=cosx>= 1/2$ cioè
$1/2<=cos x <= 2$
"@melia":
C'è ancora un errore:
$- log_(1/2) (1/2) = log_(1/2) 2$
quindi $-\log _(1/2)(1/2)<=\log _(1/2)cosx<=\log _(1/2)(1/2)$ equivale a $log _(1/2) 2<=\log _(1/2)cosx<=\log _(1/2)(1/2)$ che, togliendo il logaritmo, diventa
$2>=cosx>= 1/2$ cioè
$1/2<=cos x <= 2$
Grazie mille della risposta!
Allora rifacciamolo:
$1/2<=cosx<=2$
mi da come soluzioni:
$0<=x<=\pi/3$ e $5/3\pi<=x<=2\pi$
che messo a sistema con $cosx>0$ cioè:
$0
$0
Però ho notato che il dominio è lo stesso di quello che avevo calcolato io facendo:
$-1/2<=cosx<=1/2$
dunque entrambi i procedimenti sono validi?
Un'ultima cosa... potresti spiegarmi perchè $- log_(1/2) (1/2) = log_(1/2) 2$?
un paio di osservazioni:
1°: ammesso che fossero stati giusti i tuoi risultati precedenti ($-1/2 <= cos x <= 1/2$ e $cos x >0$), non sarebbe stato più semplice applicare l'intersezione prima di risolvere le due disequazioni, risolvendo solo $0
1°: ammesso che fossero stati giusti i tuoi risultati precedenti ($-1/2 <= cos x <= 1/2$ e $cos x >0$), non sarebbe stato più semplice applicare l'intersezione prima di risolvere le due disequazioni, risolvendo solo $0
"adaBTTLS":
un paio di osservazioni:
1°: ammesso che fossero stati giusti i tuoi risultati precedenti ($-1/2 <= cos x <= 1/2$ e $cos x >0$), non sarebbe stato più semplice applicare l'intersezione prima di risolvere le due disequazioni, risolvendo solo $02°: non è che fosse sbagliato scrivere $-1 = - log_(1/2) (1/2)$, perché hai semplicemente sostituito $1$ e lasciato il segno "meno", però non era utile ai fini della disequazione, perché dovevi ottenere termini con logaritmo di uguale base (compreso stesso segno) e due espressioni come argomento che potessero essere confrontate, quindi dovevi scrivere $-1$ come logaritmo in base $1/2$ ... $(1/2)^(-1)=2$.... ci siamo?
Tutto chiaro per quanto riguarda $1/2$ ... $(1/2)^(-1)=2$
Per quanto riguarda il dominio, invece,vediamo se mi è chiaro:
Posto che non era $-1/2 <= cos x <= 1/2$ come avevo scritto io, bensì $1/2<=cosx<=2$ (per quanto detto sopra), con l'intersezione mi sarebbe bastato risolvere soltanto $1/2<=cosx<=2$
Dunque avrei calcolato immediatamente il domino come:
$0<=x<=\pi/3$ e $5/3\pi<=x<=2\pi$
che è comunque lo stesso dominio che ottengo mettendo a sistema:
$cosx>0$ cioè $0<=x<\pi/2$ e $3/2\pi
$1/2<=cosx<=2$ cioè $0<=x<=\pi/3$ e $5/3\pi<=x<=2\pi$
Quindi, al di là del fatto che il mio procedimento sia inutilmente laborioso, mi pare di capire che porti comunque al risultato corretto (cioè lo stesso trovato ricorrendo all'intersezione). Ho detto tutto giusto finalmente?
Comunque davvero grazie per il prezioso aiuto!!!
prego!
prova a vedere se questa "ricostruzione" ti convince dell'equivalenza dei tuoi passaggi: in fondo, l'importante è non scrivere cose sbagliate; se una strada non porta ad un risultato va cambiata, altrimenti, se non sono stati commessi errori, il risultato dovrebbe essere esatto...; così, controlla se hai ragionato bene!
se avessi $-1/2 <= cos x <= 1/2$, da qui sarebbe possibile $cos x <=0$, per cui l'altra condizione $cos x >0$ è rilevante.
poiché hai $1/2<=cosx<=2$, questa condizione comprende anche l'altra, che quindi può non essere aggiunta.
in realtà, dato l'insieme di variabilità del coseno, $1/2<=cosx<=2$ è equivalente a $1/2<=cosx<=1$ e a $cos x >=1/2$.
probabilmente dipende da queste cose che ci sia coincidenza di alcuni risultati. Va notato (guarda il testo) che $cos x= 1$ è accettabile, e i due risultati scritti da te, compresi sia $0$ sia $2 pi$, vanno scritti separatamente solo se va considerato "il primo giro" senza la "variabilità" ... con "k".
penso che vada considerato non solo il primo giro, per cui andrebbe compattato il risultato come $-pi/3 +2kpi<=x<=pi/3+2kpi, k in ZZ$
prova a vedere se questa "ricostruzione" ti convince dell'equivalenza dei tuoi passaggi: in fondo, l'importante è non scrivere cose sbagliate; se una strada non porta ad un risultato va cambiata, altrimenti, se non sono stati commessi errori, il risultato dovrebbe essere esatto...; così, controlla se hai ragionato bene!
se avessi $-1/2 <= cos x <= 1/2$, da qui sarebbe possibile $cos x <=0$, per cui l'altra condizione $cos x >0$ è rilevante.
poiché hai $1/2<=cosx<=2$, questa condizione comprende anche l'altra, che quindi può non essere aggiunta.
in realtà, dato l'insieme di variabilità del coseno, $1/2<=cosx<=2$ è equivalente a $1/2<=cosx<=1$ e a $cos x >=1/2$.
probabilmente dipende da queste cose che ci sia coincidenza di alcuni risultati. Va notato (guarda il testo) che $cos x= 1$ è accettabile, e i due risultati scritti da te, compresi sia $0$ sia $2 pi$, vanno scritti separatamente solo se va considerato "il primo giro" senza la "variabilità" ... con "k".
penso che vada considerato non solo il primo giro, per cui andrebbe compattato il risultato come $-pi/3 +2kpi<=x<=pi/3+2kpi, k in ZZ$
"adaBTTLS":
prego!
prova a vedere se questa "ricostruzione" ti convince dell'equivalenza dei tuoi passaggi: in fondo, l'importante è non scrivere cose sbagliate; se una strada non porta ad un risultato va cambiata, altrimenti, se non sono stati commessi errori, il risultato dovrebbe essere esatto...; così, controlla se hai ragionato bene!
se avessi $-1/2 <= cos x <= 1/2$, da qui sarebbe possibile $cos x <=0$, per cui l'altra condizione $cos x >0$ è rilevante.
poiché hai $1/2<=cosx<=2$, questa condizione comprende anche l'altra, che quindi può non essere aggiunta.
in realtà, dato l'insieme di variabilità del coseno, $1/2<=cosx<=2$ è equivalente a $1/2<=cosx<=1$ e a $cos x >=1/2$.
probabilmente dipende da queste cose che ci sia coincidenza di alcuni risultati. Va notato (guarda il testo) che $cos x= 1$ è accettabile, e i due risultati scritti da te, compresi sia $0$ sia $2 pi$, vanno scritti separatamente solo se va considerato "il primo giro" senza la "variabilità" ... con "k".
penso che vada considerato non solo il primo giro, per cui andrebbe compattato il risultato come $-pi/3 +2kpi<=x<=pi/3+2kpi, k in ZZ$
Certamente! Adesso mi è tutto molto chiaro... Non posso fare altro che ringraziarvi ancora per l'aiuto e per la pazienza. Grazie!!!
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