Dominio chiuso/aperto, limitato/illimitato
Ciao a tutti! Mi sono resa conto di avere qualche difficoltà con il riconoscimento di alcuni domini.
Ve ne scrivo alcuni per farvi vedere come procedo ed eventualmente darmi delle dritte. E' una domanda banale ma basilare per poter andare avanti.
$f (x,y,z) = 1+log(1 +x^2+y^2-z^2)$
$D = x^2 +y^2 > z^2-1$
Essendo gli estremi del dominio non compresi, posso dire che è un dominio aperto; $z$ può assumere qualsiasi valore, quindi ne concludo che è anche non limitato.
$f (x,y,z)=1+z+ sqrt(1-x^2-y^2)$
$D= x^2+y^2<=1$
Essendo gli estremi compresi, il dominio è chiuso; $z$ può assumere qualsiasi valore, quindi è non limitato.
Il problema principale è con questo esercizio:
$f(x,y,z)=ysqrt(1-x^2-2y^2-3z^2)$
$D=x^2 +2y^2<= 1 +3z^2$
Essendo gli estremi compresi, il dominio è chiuso; $z$ può assumere qualsiasi valore, quindi è non limitato.
Per quest'ultimo esercizio, la soluzione da me trovata differisce dalla soluzione proposta dal testo. Cosa sbaglio? Il fatto che i primi due esercizi corrispondono alla soluzione proposta dal testo, è puro caso o il ragionamento ha senso? Vi ringrazio per eventuali risposte!:)
Ve ne scrivo alcuni per farvi vedere come procedo ed eventualmente darmi delle dritte. E' una domanda banale ma basilare per poter andare avanti.
$f (x,y,z) = 1+log(1 +x^2+y^2-z^2)$
$D = x^2 +y^2 > z^2-1$
Essendo gli estremi del dominio non compresi, posso dire che è un dominio aperto; $z$ può assumere qualsiasi valore, quindi ne concludo che è anche non limitato.
$f (x,y,z)=1+z+ sqrt(1-x^2-y^2)$
$D= x^2+y^2<=1$
Essendo gli estremi compresi, il dominio è chiuso; $z$ può assumere qualsiasi valore, quindi è non limitato.
Il problema principale è con questo esercizio:
$f(x,y,z)=ysqrt(1-x^2-2y^2-3z^2)$
$D=x^2 +2y^2<= 1 +3z^2$
Essendo gli estremi compresi, il dominio è chiuso; $z$ può assumere qualsiasi valore, quindi è non limitato.
Per quest'ultimo esercizio, la soluzione da me trovata differisce dalla soluzione proposta dal testo. Cosa sbaglio? Il fatto che i primi due esercizi corrispondono alla soluzione proposta dal testo, è puro caso o il ragionamento ha senso? Vi ringrazio per eventuali risposte!:)
Risposte
nell'ultima diseguaglianza è sbagliato un segno: viene $x^2+2y^2<=1-3z^2$ ovvero $x^2+2y^2+3z^2<=1$
Ah si, una svista 
ma cosa cambia in termini di risoluzione dell'esercizio? Il terzo dominio è, per me, ancora chiuso e non limitato, mentre la soluzione dovrebbe essere "chiuso e limitato". Cosa sbaglio? Grazie ancora..
ma cosa cambia in termini di risoluzione dell'esercizio? Il terzo dominio è, per me, ancora chiuso e non limitato, mentre la soluzione dovrebbe essere "chiuso e limitato". Cosa sbaglio? Grazie ancora..
beh, con la "nuova" disuguaglianza, il dominio è limitato: non è un ellissoide?
Si, lo è. Essendo un ellissoide, quindi, $z$ non può assumere qualsiasi valore, cosa che invece si ha con gli altri due domini (il primo sono due rami di iperbole, se non sbaglio, e il secondo è un cerchio). Giusto? Scusami, ma voglio essere certa di aver compreso davvero tutto prima di passare avanti..
la dicitura che z può assumere qualsiasi valore vale in particolare per il secondo dominio, che è un cilindro, in particolare con i valori limitati di x e y;
per quanto riguarda il primo, la conclusione sul dominio aperto e illimitato è corretta, ma in realtà non è solo perché z può assumere qualsiasi valore, ma sia x sia y sia z sono "illimitati"; il dominio è una delle parti dello spazio divise da un iperboloide connesso o ad una falda (la parte concava); sarebbe stato illimitato anche se fosse stata la parte convessa, quella cioè corrispondente alla disuguaglianza opposta;
per il terzo sì, ora è facile, sia x sia y sia z sono "limitati".
questo per la limitatezza; per la chiusura o apertura, dovresti specificare la topologia, anche se le tue conclusioni sono corrette con la topologia euclidea (ordinaria).
spero sia chiaro e che risponda ai tuoi dubbi. ciao.
per quanto riguarda il primo, la conclusione sul dominio aperto e illimitato è corretta, ma in realtà non è solo perché z può assumere qualsiasi valore, ma sia x sia y sia z sono "illimitati"; il dominio è una delle parti dello spazio divise da un iperboloide connesso o ad una falda (la parte concava); sarebbe stato illimitato anche se fosse stata la parte convessa, quella cioè corrispondente alla disuguaglianza opposta;
per il terzo sì, ora è facile, sia x sia y sia z sono "limitati".
questo per la limitatezza; per la chiusura o apertura, dovresti specificare la topologia, anche se le tue conclusioni sono corrette con la topologia euclidea (ordinaria).
spero sia chiaro e che risponda ai tuoi dubbi. ciao.
Si, chiaro! Grazie:)
prego!
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