Dominio a funzioni di più variabili . :S

[capplo]

salve domani ho un esame e mentre ripassavo gli argomenti mi è sorto un dubbio . quando devo trovare il dominio a più variabili , vedo nella funzione cos'ho cioè se ho una radice pongo tutto maggiore uguale a zero , se ho ln(x-y) pongo tutto magiore di zero e cosi via ma se la mia funzione è f(x,y) = (2xy)/(x^2 +y^2) , numeratore è un iperbole ,denominatore una circonferenza senza raggio a quanto pare . ma come li egualgio datto che non ho ne radice ,ln , esponente .???

[gio73]

Ciao capplo, ti faccio l'imboccallupo per domani e ti dico come la ragionerei io: allora affinchè la frazione non perda di significato è necessario che il denominatore non diventi mai 0. Allora mi vanno bene tutte le coppie $(x;y)$ tranne quella in cui si annullano sia x che y cioè non mi torna comodo $O(0;0)$, in soldoni escluderei l'origine, che ne pensi?

[gio73]

"capplo": la mia funzione è f(x,y) = (2xy)/(x^2 +y^2) , numeratore è un iperbole,denominatore una circonferenza senza raggio a quanto pare

Sai che non ho capito bene cosa intendi?
Se la nostra funzione fosse solo $f(x,y)=2xy$ le curve di livello che otterrei tagliando il grafico con piani perpendicolari all'asse z ($z=1$, $z=2$ ...) sarebbero iperboli
Se la nostra funzione fosse $f(x,y)=x^2+y^2$ le curve di livello sarebbero circonferenze il cui raggio dipenderà dalla quota alla quale effettuo il taglio (per $z=1$ il raggio sarà 1 per $z=4$ il raggio sarà 2, per $z=9$ il raggio sarà 3 eccetera...)

[capplo]

il tuo raggionamento iniziale l'avevo pensato anche io , in quanto il denominatore deve essere diverso da $0$ .sono due funzioni in una . mi spego ho sempre fatto esercizi di tipo : trovo il dominio del numeratore e lo disegnio . trovo il dominio della funzione che sta al denom. e lo disegnio ,poi unisco i due grafici sottolineando dove il dominii delle funzioni si incontrano .Un esempio al numeratore ci può essere una retta e un iperbole ,e al denominatore una circonferenza ecc.. non so se sono riuscita a farti capire il tipo di esercizi che ho svolto per questo argomento .Nel secondo comento : il fatto di usare $z$ per ottenere il raggio non ne ero a conoscenza però in questo caso il dominio sarebbe tutto $R$ trane $-1$ o $-2 $ ecc o no ??

[gio73]

Ciao capplo, se la tua funzione fosse $f(x,y)=x^2+y^2$ sarebbe definita su tutto il piano $R^2$, la forma del grafico sarebbe un paraboloide con vertice nell'origine, concavità rivolta verso l'alto, se provassi ad affettare il grafico con piani a quota -1, -2 comunque negativa non intercetterei il grafico.
A me piace abbastanza immaginare la forma del grafico anche delle funzioni in due variabili, questo mi aiuta anche a fare considerazioni successive e la tua funzione mi piace molto. Provo a descrivere quello che immagino sperando che altri utenti mi controllino:
allora al denominatore, se escludiamo l'origine, abbiamo valori sempre positivi e sempre più grandi via via che ci allontaniamo dall'origine;
al numeratore invece avremo valori positivi nel I e III quadrante, e negativi nel II e IV, uguale a 0 lungo gli assi coordinati
Poi comincio a pensare a come si comporta la nostra funzione via via che si allontana dall'origine e controlo cosa succede in corrispondenza delle bisettrici $y=x$ e $y=-x$, e mi accorgo che lungo la prima vale sempre 1 e lungo la seconda -1.
Poi provo a segare il grafico con cilindri di raggio via via più grande e mi accorgo che l'intersezione è una curva che raggiunge una quota massima 1 (quando x=y) e una minima di -1(quando x=-y).
Mi sento di concludere che la funzione è limitata inferiormente e superirmente.
Concludo cercando di capire cosa succede nell'origine: temo che non sia prolungabile in questo punto, perchè se raggiungo l'origine percorrendo gli assi coordinati tendo a 0, mentre se mi avvicino lungo le bisettrici in un caso ottengo -1 e nell'altro +1.