DOMINIO

[parallel1]

Come si determina il dominio di una funzione integrale, per esempio della seguente ?

$ int_2^x 1/(t-1)dt$

Grazie

[Sk_Anonymous]

"parallel":Come si determina il dominio di una funzione integrale, per esempio della seguente ? $ int_2^x 1/(t-1)dt$

...immagino si voglia determinare l'insieme massimale $X$ di definizione della funzione reale di variabile reale $F: x \mapsto int_2^x 1/(t-1)dt$. Si tratta allora di stabilire qual è il "più grande" $X \subseteq \mathbb{R}$ tale che, per ogni $x \in X$, l'integrale $int_2^x \frac{1}{t-1} dt$ esista - suppongo! - nel senso di Riemann. Se $x > 1$, questa condizione è banalmente soddisfatta, dacché in tal caso la funzione integranda $f: \mathbb{R}\setminus\{1\} \mapsto \mathbb{R}: t \mapsto \frac{1}{t-1}$ è continua in $[2, x]$, se $x \ge 2$, ovvero in $[x,2]$, se $1 < x \le 2$. Tuttavia l'integrale generalizzato $\int_2^1 f(t) dt$ non è convergente, e perciò $f$ non è integrabile in senso improprio - secondo Riemann - in $[x, 2]$, se $x \le 1$. Tanto basta per concludere che il dominio massimale della funzione integrale è giusto l'insieme $X := ]1, +\infty[$.

Se poi l'integrazione è intesa sia pure alla Riemann, ma nel senso dei valori principali di Cauchy, allora banalmente $X = \mathbb{R}\setminus\{1\}$ ed $F(x) = \ln|x-1| - \ln(2)$, per ogni $x \in X$.