Dominio

[vivi996]

Scusate la mia presenza costante qui, ma devo assolutamente capire questa materia.
Non riesco a capire come studiare il dominio ( che sembra semplice) di questa funzione $f(x)=arcocos(cosx-senx)$
La soluzione è tipo ristretta ai numeri interni di k, con $k$$\pi$

[killing_buddha]

Quando una composizione di funzioni è della forma \(g(f(x))\) e \(g\) ha dominio \(D\), bisogna imporre la condizione \(f(x)\in D\) per ottenere che \(f^\leftarrow(D)\) è il dominio di \(gf\).

In questo caso, qual è il dominio della funzione \(x\mapsto \arccos x\)? E quale condizione deve verificare \(x\) affinché \(\cos x -\sin x\in D\)? (E' anche una buona idea notare che \(\cos x-\sin x = \sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})\): semplifica parecchio le cose; \(\cos x-\sin x = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x-\sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)\)...)

[vivi996]

So che $-1 $\{(cos(x+\pi/4)>-1),(cos(x+\pi/4)<1):}$ giusto?

[vivi996]

mi viene $3\pi/4

Cita

Segnala

[gugo82]

Detto altrimenti, il problema della ricerca del dominio è quello di stabilire quali sono i valori della variabile $x$ che danno senso all’espressione $arccos( cos x - sin x)$, ossia i valori di $x$ per i quali tale espressione è “calcolabile” e fornisce come risultato un numero reale.
Si tratta quindi di imporre, come si dice a scuola, le condizioni di esistenza dei vari termini che compaiono nell’espressione, ricordando quali sono le proprietà di base delle funzioni elementari.
Nel caso in esame, $cos x$ e $sin x$ sono quantità sensate (e “calcolabili”) per ogni numero reale $x$, poiché le funzioni seno e coseno sono entrambe definite in $RR$; analogamente, non dà problemi il calcolo della differenza $cos x - sin x$, poiché la differenza di numeri reali è sempre “calcolabile”. Quindi, come si dice, la componente più interna non impone nessun vincolo al valore della variabile.
D’altra parte, l’arcocoseno è “calcolabile” quando il suo argomento è un numero compreso tra $-1$ ed $1$, estremi inclusi, poiché la funzione $arccos$ è definita in $[-1,1]$. Quindi, affinché l’espressione che definisce $f$ sia “calcolabile” c’è bisogno che l’argomento dell’arcocoseno sia contemporaneamente $>=-1$ e $<=1$: ciò si traduce nel fatto che gli unici valori di $x$ che danno senso all’espressione che definisce $f$ sono le soluzioni del sistema di disequazioni:
\[
\begin{cases}
\cos x - \sin x \geq -1\\
\cos x - \sin x \leq 1
\end{cases}
\]
ottenuto imponendo le sole due condizioni di esistenza che abbiamo incrociato sul percorso.
I metodi risolutivi per un sistema del genere si studiano alle scuole superiori, quindi dovresti cavartela.


P.S.: Tanto per curiosità, cosa studi? E che scuole hai frequentato?

P.P.S.: In ciò che ha suggerito chi mi ha preceduto manca un fattore $sqrt(2)$.
Per la precisione, hai $cos x - sin x = sqrt(2) cos(x + pi/4)$.

[killing_buddha]

\(\cos x-\sin x = {\color{red}\sqrt{2}}\cos(x+\frac{\pi}{4})\): semplifica parecchio le cose; \(\cos x-\sin x = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x-\sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)\)...)

E' vero, mancava in uno dei due; l'ho aggiunto. Il senso dell'osservazione resta tuttavia immutato

[vivi996]

No ma so cos'è il dominio, so come calcolarlo, non so però trovare i valori che soddisfano quelle disuguaglianze! Non so proprio come ragionare in termini trigonometrici, non so se mi sono spiegata. Comunque Fisica, ho frequentato l'artistico, si vede hahaha mi mancano terribilmente le basi

[gugo82]

"vivi96":non so però trovare i valori che soddisfano quelle disuguaglianze! Non so proprio come ragionare in termini trigonometrici, non so se mi sono spiegata.

Ok, allora il problema è rappresentato dalle disequazioni goniometriche.
Ti conviene recuperare i testi delle superiori per le tecniche di base.

In questo caso o si lavora col “metodo dell’arco aggiunto” che suggeriva chi mi ha preceduto, oppure si lavora col “metodo grafico”, oppure si sfruttano le formule parametriche razionali per ricondurre tutto ad un paio di disequazioni fratte in $t=tan(x/2)$.

"vivi96":Comunque Fisica, ho frequentato l'artistico, si vede hahaha mi mancano terribilmente le basi

Ok.
Ho avuto studenti di ingegneria edile che venivano dall’artistico... Hanno faticato molto, proprio per la mancanza delle tecniche di base, però poi alla fine ce l’hanno fatta.

[vivi996]

Sto cercando di studiare in parallelo con le basi del liceo, il problema difficile è farsi l'occhio per vedere o prevedere che cosa applicare, senza poter chiedere direttamente ad un professore eventuali dubbi diventa ancora più intricato. Difatti non ho mai provato a sostenere questo esame ^^' Ecco spiegata la mia presenza costante su questo sito!

Comunque grazie mille dei consigli, ora vado a rivedermi i metodi che mi avete consigliato!!

[vivi996]

Scusa se rompo ancora, ma ho svolto l'esercizio con il metodo dell'arco aggiunto però la soluzione che mi da è diversa, ovvero:
$uuu_{k in ZZ}[k\pi,k\pi+\pi/2]$
mentre a me vengono 4 soluzioni del sistema, ovvero $ x+\pi/4>=3\pi/4+2k\pi uu x+\pi/4>= 5\pi/4+2k\pi$ e risolvendo come una disequazione trovo $x>=\pi+2k\pi$ e $x<=\pi/2+...$
Poi per la seconda disequazione invece trovo $ x+\pi/4<=\pi/4+2k\pi uu x+\pi/4<= 7\pi/4+2k\pi$ cioè $ 2k\pi<=x<=3\pi/2+2k\pi$

sbaglio qualcosa? Mi spiace rubare il tempo in questo modo, ma non so come poter capire in autonomia :'(

[gugo82]

Col metodo che hai scelto, trovi che il sistema è equivalente alle disequazioni $-(sqrt(2))/2 <= cos( x + pi/4) <= (sqrt(2))/2$.
Guardando la circonferenza goniometrica si vede che gli angoli $alpha$ che hanno coseno compreso tra i valori $-(sqrt(2))/2$ e $(sqrt(2))/2$ sono quelli che soddisfano $pi/4 + k pi <= alpha <= (3pi)/4 + k pi$ (ho messo $k pi$ al posto di $2k pi$ perché così becco in un colpo solo gli angoli sopra l’asse $X$ e quelli sotto!); dunque le soluzioni del sistema le ricavi sostituendo $alpha = x + pi/4$ nelle precedenti e trovi $k pi<= x <= pi/2 + k pi$.
Quindi:
\[
\operatorname{Dom} f = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [k \pi , \frac{\pi}{2} + k \pi]\; .
\]