Domini semplici, dove una variabile dipende dall'altra

[asker993]

Ciao a tutti ragazzi, oggi ho fatto un esercizio che chiedeva di calcolare l'area della spirale di Archimede con l'integrale doppio, bene, sapendo che in coordinate polari abbiamo $p=Rtheta/(2pi) theta [0,2pi]$, sapendo che la spirale è fatta su un grafico $x,y$ dobbiamo operare una trasformazione di coordinate, tale che $dxdy=p dpd(theta)$, adesso provo a ragionare a livello geometrico ovvero, in $R^3$ ho una superficie sul piano di cui voglio calcolare l'area, allora, tratto il dominio come un $theta$- semplice e dunque calcolo l'integrale da $0$ a $2pi$ e poi faccio variare questa da $0$ a $Rtheta/(2pi) $, questo ragionamento lo utilizzavo per domini in cui una variabile non dipendeva dall'altra, ed era indifferente giustamente se era un dominio semplice, certo che però se faccio questo per questo integrale sbaglio perchè mi rimane un $p(theta)$ non integrato....la mia domanda è, a livello geometrico perchè il ragionamento che adoperavo con i domini semplici in cui una variabile non dipendeva dall'altra non funziona qua? Mi risulta molto difficile a livello intuivivo geometrico capire questo passaggio, grazie.

[asker993]

grazie della risposta, però il mio dubbio era più geometrico, cioè, ho fatto l'esempio della spirale di Archimede perchè nel dominio ha una variabile in funzione dell'altra, ma potevo fare altri esempi...non riesco veramente a capire a livello geometrico il ragionamento che c'è dietro: nei domini semplici dove abbiamo per esempio $a<=x<=b$ e $g1(x)<=y<=g2(x)$ (dominio y-semplice), qua, a livello geometrico ragiono così: faccio una sezione della funzione $f(x0,y)$ e ne calcolo l'area da $g1(x)$ a $g2(x)$ e poi integro da $a$ a $b$ e così ottengo esattamente il volume della funzione integrata nel dominio che ho stabilito; potevo anche ragionare al contrario ovvero trattarlo come x-semplice e integrar prima rispetto ad $x$ e poi rispetto ad $y$. Se però abbiamo che una variabile in funzione di un altra, e il dominio è SEMPLICE, io intuitivamente penso che posso integrare sia rispetto ad una variabile o all'altra, però è sbagliato, vedi caso della spirale di Archimede, dato che se integro prima rispetto a $theta$ mi ritrovo una funzione rispetto a $theta$ alla fine che non posso più integrare...cioè, in sostanza, seppur il dominio è semplice c'è un ordine di integrazione...io non riesco a capirne il motivo a livello geometrico facendo il paragone con l'esempio di sopra...