Domini
Il dominio della funzione $f(x)=x^(-2/3)$ qual'è?
Risposte
$x$ diverso da zero
Io ho sempre saputo che l'elevamento a potenza non intera è definito solo per basi non negative. Sentiamo cosa ne pensano altri.
Per Milady: Anche io avrei detto $x != 0$ se non fosse per il fatto che il programmino Open Source che uso per fare i grafici il ramo per $x<0$ non lo porta...
Per Tipper:intendi dire che il dominio è $x>=0$?
Per Tipper:intendi dire che il dominio è $x>=0$?
"WiZaRd":
Per Tipper:intendi dire che il dominio è $x>=0$?
No, in questo caso solo $x > 0$. Intendevo dire che in generale, se $n, m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, $x^{\frac{n}{m}}$ è definito solo se $x \ge 0$.
"WiZaRd":
Per Milady: Anche io avrei detto $x != 0$ se non fosse per il fatto che il programmino Open Source che uso per fare i grafici il ramo per $x<0$ non lo porta...
beh in effetti ho ragionato velocemente considerando solo la condizione per il denominatore,
non badando all'esponente!
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/FunzioniRealiNotevoli/FunzioniRealiNotevoli.htm
Capì.
non so se è giusto il mio ragionamento ma avere un meno all'esponente e uguale a
$(1/x)^(2/3)$ che non è alto che la radice terza di $ root{3}((1/x)^2)$
e tutto si riduce a $1/(root{3}(x^2))$
quindi basta studiare quando $(root{3}(x^2)) != 0$ ma questa e definita solo per x positiva quindi il dominio sarò x>0
$(1/x)^(2/3)$ che non è alto che la radice terza di $ root{3}((1/x)^2)$
e tutto si riduce a $1/(root{3}(x^2))$
quindi basta studiare quando $(root{3}(x^2)) != 0$ ma questa e definita solo per x positiva quindi il dominio sarò x>0
E' $x^(-2/3)=1/x^(2/3)=1/(^3 sqrt(x^2))$ definito se e solo se $(^3 sqrt(x^2))!=0 iff x!=0$.
La questione che $a^x$ (quindi un'esponenziale, dove la variabile sta all'esponente) è definito solo per $a>=0$ è diversa. E' dovuta al fatto che dipende dalla rappresentazione di $x$. Per esempio, se $a=-1, x=1/2=2/4$ si ha che non esiste in $RR$ il $(-1)^1/2=sqrt(-1)$ mentre invece $(-1)^2/4=^4 sqrt((-1)^2)=1$. Quindi non ha senso definire $a^x$ per $a<0$ perché non lo si può definire indipendentemente da come scrivo un fissato numero $x$.
La questione che $a^x$ (quindi un'esponenziale, dove la variabile sta all'esponente) è definito solo per $a>=0$ è diversa. E' dovuta al fatto che dipende dalla rappresentazione di $x$. Per esempio, se $a=-1, x=1/2=2/4$ si ha che non esiste in $RR$ il $(-1)^1/2=sqrt(-1)$ mentre invece $(-1)^2/4=^4 sqrt((-1)^2)=1$. Quindi non ha senso definire $a^x$ per $a<0$ perché non lo si può definire indipendentemente da come scrivo un fissato numero $x$.
@WiZaRd
ogni tanto ci sono dei clashes con le definizioni
è la esperienza del matematico che permette di abituarsi a queste che, alla fin fine, sono piccole cose
il fatto che $a^x$ non sia definito per $a<0$ è tanto comodo quando si studiano le funzioni reali di variabile reale...
d'altronde $(-2)^3$ sappiamo cosa vuol dire, no?
ci sarebbe una soluzione "alla tedesca"
usare due simboli diversi per queste due cose diverse, ma poi schiattiamo!
mi sembra peggio che non si usino due frecce di colore diverso guidando:
- quella arancione solita per indicare una svolta
- un vede per indicare che si inizia il sorpasso
se conviviamo con questa pericolosa ambiguità, cosa vuoi che sia un esponentucolo?
riguardo al software, beh, ne patisce
ogni tanto ci sono dei clashes con le definizioni
è la esperienza del matematico che permette di abituarsi a queste che, alla fin fine, sono piccole cose
il fatto che $a^x$ non sia definito per $a<0$ è tanto comodo quando si studiano le funzioni reali di variabile reale...
d'altronde $(-2)^3$ sappiamo cosa vuol dire, no?
ci sarebbe una soluzione "alla tedesca"
usare due simboli diversi per queste due cose diverse, ma poi schiattiamo!
mi sembra peggio che non si usino due frecce di colore diverso guidando:
- quella arancione solita per indicare una svolta
- un vede per indicare che si inizia il sorpasso
se conviviamo con questa pericolosa ambiguità, cosa vuoi che sia un esponentucolo?
riguardo al software, beh, ne patisce
Ok...ho capito il senso.
Professore, simpaticssimo l'accostamento con le frecce!!!:D
Professore, simpaticssimo l'accostamento con le frecce!!!:D
Mamma mia e come sto!!! Io sono un caso da ricovero
Ditemi una cosa...il domino di $f(x)=(x^2-4)^((a+1)/3)$, dove $a in RR$ è un parametro, qual è?
Dipende dal parametro $a$, cioè è na cosa del tipo:
se $(a+1)/3<0$ allora il dominio si ha per $x^2-4>0$
se $(a+1)/3=0$ allora il dominio è $RR$
se $(a+1)/3>0$ allore il dominio si ha per $x^2-4>=0$
se $(a+1)/3$ è intero positvo allora il dominio è $RR$
se $(a+1)/3$ è intero negativo allora il dominio è $RR \\ {0}$
oppure si taglia corto e diciamo che il dominio si ha per $x^2-4>0$?
Ditemi una cosa...il domino di $f(x)=(x^2-4)^((a+1)/3)$, dove $a in RR$ è un parametro, qual è?
Dipende dal parametro $a$, cioè è na cosa del tipo:
se $(a+1)/3<0$ allora il dominio si ha per $x^2-4>0$
se $(a+1)/3=0$ allora il dominio è $RR$
se $(a+1)/3>0$ allore il dominio si ha per $x^2-4>=0$
se $(a+1)/3$ è intero positvo allora il dominio è $RR$
se $(a+1)/3$ è intero negativo allora il dominio è $RR \\ {0}$
oppure si taglia corto e diciamo che il dominio si ha per $x^2-4>0$?
Non si taglia corto....
Spiego il dubbio da dove nasce: sul mio libro di analisi (liceo) quando tratta la funzione $y=x^alpha$ per trovarne la derivata l'autore pone: "sia $alpha in RR$ e $x>0$, allora si costruisca il rapporto incrementale,..." etc.
Non so se sono riuscito a farmi capire...
Non so se sono riuscito a farmi capire...
Io, intanto, spiego meglio quello che intendevo.
Nella funzione $f(x)=(x^2-4)^((a+1)/3)$ ci dobbiamo mettere a capire come si comporta $alpha=(a+1)/3$ per capire qual'è il dominio, mentre nel caso he ho citato sul mio libro, data la funzione $y=x^alpha$ taglia corto e senza stabilire com'è $alpha$ fa $alpha in RR$ e $x >0$ mentre, in coerenza con quanto detto su $f(x)=(x^2-4)^((a+1)/3)$ avrebbe dovuto distinguere $alpha$ intero positivo, intero negativo, razionale positvo, razionale negativo, nullo, irrazionale positivo e irrazionale negativo prima di stabilire come doveva essere $x$
Nella funzione $f(x)=(x^2-4)^((a+1)/3)$ ci dobbiamo mettere a capire come si comporta $alpha=(a+1)/3$ per capire qual'è il dominio, mentre nel caso he ho citato sul mio libro, data la funzione $y=x^alpha$ taglia corto e senza stabilire com'è $alpha$ fa $alpha in RR$ e $x >0$ mentre, in coerenza con quanto detto su $f(x)=(x^2-4)^((a+1)/3)$ avrebbe dovuto distinguere $alpha$ intero positivo, intero negativo, razionale positvo, razionale negativo, nullo, irrazionale positivo e irrazionale negativo prima di stabilire come doveva essere $x$
ed è qui che sbagli se pone a priori $x>0$ allora sei svincolato....anche all'esercizio se poniamo (e probabilmente si deve fare) $x^2-4>0$ allora i casi si concentrano in uno solo...ANZI ARRIVO ALLA CONCLUSIONE che va posto all'inizio $x^2-4>0$ poi dipende dal prof come intende risolverlo e spiegarlo ma torniamo sempre lì...
"f.bisecco":
poi dipende dal prof come intende risolverlo e spiegarlo ma torniamo sempre lì...
Infatti, dipende dalla convenzione che si vuole usare.
Poi, quando uno diventa grande e non ha più il prof(*), se lo deve decidere lui di cosa sta parlando. La convenzione che più probabilmente userà sarà quella che la base non può essere negativa, secondo me. Ma l'importante è avere le idee chiare matematicamente del perché si usa una o l'altra convenzione. Ad esempio, se ho una funzione esponenziale, proibire che la base sia negativa mi fa tanto comodo per poter avere una funzione "decente" con cui lavorare. E, probabilmente, è anche la convenzione più aderente alla applicazione, al fenomeno cui sono interessato.
(*) fortuna o sfortuna? Dipende: fortuna se ha imparato le cose. Nel caso contrario
Quindi, concludendo, volendo essere "fiscali" per trovare il dominio vero e proprio dobbiamo discutere caso per caso come si comporta l'esponente.
Dovendo arrivare a un determinato obiettivo o risultato, possiamo anche convenire su una convenzione che ci permetta di alleggerire la cosa.
E' giusto o ho sbagliato ancora?
Dovendo arrivare a un determinato obiettivo o risultato, possiamo anche convenire su una convenzione che ci permetta di alleggerire la cosa.
E' giusto o ho sbagliato ancora?
Si, al 99,9% una funzione di quel tipo si discute con la base > 0 perciò nel nostro caso la cosa si semplifica...
Se ho tempo ti racconto un aneddoto a riguardo....
Se ho tempo ti racconto un aneddoto a riguardo....
Sì=ho sbagliato o Sì=è giusto?
Quando vuoi e puoi, io quà sto!!!
p.S.: sono intontito: ho dormito solo 3 ore!!! (da ricovero, sono da ricovero)
Quando vuoi e puoi, io quà sto!!!
p.S.: sono intontito: ho dormito solo 3 ore!!! (da ricovero, sono da ricovero)
Mettiamo fine a questa discussione : E' GIUSTISSIMO PORRE LA BASE MAGGIORE DI ZERO! Quindi non preoccuparti vai sicuro...
L'anno scorso mi sono presentato per lo scritto di Analisi I e nel primo esercizio c'era una funzione esponenziale del tipo
$[f(x)]^g(x)$ e bisognava determinare il dominio...La prof che di solito sembra muta appena consegnata la traccia la prima cosa che disse fu:"considerate la base >0"....
L'anno scorso mi sono presentato per lo scritto di Analisi I e nel primo esercizio c'era una funzione esponenziale del tipo
$[f(x)]^g(x)$ e bisognava determinare il dominio...La prof che di solito sembra muta appena consegnata la traccia la prima cosa che disse fu:"considerate la base >0"....
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