Domandine teoriche su due teoremi sulle successioni
Prima domanda:
TEOREMA SUL CARATTERE DELLE SUCCESSIONI MONOTONE.
Sia %a_n% crescente e limitata superiormente, allora $a_n$ converge in "S^-".
La mia domanda è. Ma se la successione è crescente e LIMITATA. Non è banale dire che converge al suo estremo superiore?Serve la dimostrazione? ....
Ovviamente il teorema sarebbe lo stesso se $a_n$ fosse decrescente e la dimostrazione con segni contrari?
Seconda domanda.
TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO
Sia $a_n$ positivo, $a_n->L$, allora L>0.
Per assurdo L<0
Quindi sia $\epsilon <0 : L+ \epsilon<0$
Il resto della dimostrazione è scontata. La mia domanda è:
E' possibile che $L+ \epsilon$ possa essere in una particolare situazione >0?
Vi ringrazio.
Federico
TEOREMA SUL CARATTERE DELLE SUCCESSIONI MONOTONE.
Sia %a_n% crescente e limitata superiormente, allora $a_n$ converge in "S^-".
La mia domanda è. Ma se la successione è crescente e LIMITATA. Non è banale dire che converge al suo estremo superiore?Serve la dimostrazione? ....
Ovviamente il teorema sarebbe lo stesso se $a_n$ fosse decrescente e la dimostrazione con segni contrari?
Seconda domanda.
TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO
Sia $a_n$ positivo, $a_n->L$, allora L>0.
Per assurdo L<0
Quindi sia $\epsilon <0 : L+ \epsilon<0$
Il resto della dimostrazione è scontata. La mia domanda è:
E' possibile che $L+ \epsilon$ possa essere in una particolare situazione >0?
Vi ringrazio.
Federico
Risposte
Se una successione è limitata, è anche limitata superiormente e inferiormente 
Per la seconda domanda, cosa sarebbe esattamente $L$?
Poi più che $a_n$ positivo e limitato, dovrebbe essere semplicemente convergente, altrimenti ha poco senso.
Per la seconda domanda, cosa sarebbe esattamente $L$?
Poi più che $a_n$ positivo e limitato, dovrebbe essere semplicemente convergente, altrimenti ha poco senso.
Non ho capito la risposta alla prima domanda.
Si hai ragione. Ho sbagliato a scrivere. Correggo. Non è limitata ma Convergente a L
Si hai ragione. Ho sbagliato a scrivere. Correggo. Non è limitata ma Convergente a L
Si, serve la dimostrazione, perchè se tu ricordi la definizione di estremo superiore di un insieme limitato superiormente, la prima parte dice che è un maggiorante degli elementi dell'insieme, la seconda che un elemento più piccolo non lo è. Qui abbiamo una successione che forma un insieme limitato, cosa c'entra il limite di una successione monotona con l'estremo superiore dell'insieme dei valori della successione? Sono due concetti distinti, e infatti come fai a dimostrare che in questo caso i due valori sono uguali? dici che se prendi un elemento più piccolo dell'estremo superiore che dista da lui [tex]\epsilon[/tex] questi non è un maggiorante, allora esisterà(è qui in poi che si capisce che non è scontato) un elemento dell'insieme dei valori della successione maggiore, ma dal momento che la successione è monotona, a partire dall'intero N di quel valore tutti gli altri saranno anch'essi in quell'intorno, ergo hai dimostrato che quell'estremo superiore è il limite.
Grazie mille ^_^
"shaducci":
Prima domanda:
TEOREMA SUL CARATTERE DELLE SUCCESSIONI MONOTONE.
Sia %a_n% crescente e limitata superiormente, allora $a_n$ converge in "S^-".
La mia domanda è. Ma se la successione è crescente e LIMITATA. Non è banale dire che converge al suo estremo superiore?Serve la dimostrazione?
Certo che serve la dimostrazione, mica è così ovvio.
Ad esempio, prendi al posto di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] l'intervallo [tex]$]0,1[$[/tex]. Evidentemente per ogni punto di [tex]$]0,1[$[/tex] posso definire i suoi intorni, quindi posso pensare di definire il limite pure per successioni a valori in [tex]$]0,1[$[/tex]: ovviamente la definizione di successione convergente è la stessa che nel caso reale, solo che [tex]$\varepsilon$[/tex] non lo puoi prendere troppo grande (ma questa non è una limitazione, perchè a te interessando i valori piccoli di [tex]$\varepsilon$[/tex]).
Allora considera la successione di termine generale [tex]$a_n:=1-\tfrac{1}{2n}$[/tex]: essa è crescente, prende valori in [tex]$]0,1[$[/tex], però non converge a nessun punto di [tex]$]0,1[$[/tex].
"shaducci":
Seconda domanda.
TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO
Sia $a_n$ positivo, $a_n->L$, allora L>0.
Per assurdo L<0
Quindi sia $\epsilon <0 : L+ \epsilon<0$
Il resto della dimostrazione è scontata. La mia domanda è:
E' possibile che $L+ \epsilon$ possa essere in una particolare situazione >0?
Certo. Basta scegliere [tex]$\varepsilon >-L$[/tex].
Ma ciò non ti serve: in quella dimostrazione ti serve considerare un intorno di [tex]$L$[/tex] che sia tutto contenuto in [tex]$]-\infty ,0[$[/tex] e per fare ciò ti basta scegliere [tex]$\varepsilon =-\tfrac{L}{3}$[/tex]. Prova...
Chiarissimo il secondo punto. Ma non ho bel chiaro ancora il primo.
La successione da te proposta non dovrebbe convergere a 1?
La successione da te proposta non dovrebbe convergere a 1?
Noterai che Gugo ha giustificato la possibilità di applicare la definizione di limite, perchè per parlare di limite devi parlare di intorni, l'insieme ]0,1[ è lo spazio metrico dei valori che devi considerare niente di più.
Nota:
Il fatto è che parliamo in generale di topologie ordinate, quindi se il limite esiste di una successione monotona limitata, questo è l'estremo superiore e viceversa, quello è un caso in cui il limite non esiste, ma in questi casi non esiste nemmeno l'estremo superiore.
Nota:
Il fatto è che parliamo in generale di topologie ordinate, quindi se il limite esiste di una successione monotona limitata, questo è l'estremo superiore e viceversa, quello è un caso in cui il limite non esiste, ma in questi casi non esiste nemmeno l'estremo superiore.
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