Domandine su successioni
Ciao, amici! Nel mio studio dei Fondamenti della Geometria di Hilbert ho l'impressione che si diano per scontate alcune cose di cui due mi tornano anche se non l'ho trovate in forma esplicita per il caso generale, ma di cui chiedo conferma. Siano $X$ e $Y$ due spazi metrizzabili con topologia indotta dalla distanza in essi definita. Sono giuste le seguenti affermazioni?
-una successione \(\{x_n\}\) è convergente se e solo se ogni sottosuccessione è convergente;
-una funzione $f:X\to Y$ è continua se e solo se, per ogni successione \(\{x_n\}\) convergente al punto di accumulazione $x$ di $X$, vale \(\lim_{n}f(x_n)=f(x)\);
-\(\lim_{n}x_n=x\) se e solo se \(x\) è l'unico punto di accumulazione di \(\{x_n\}\).
Mentre della veridicità delle prime due mi sento piuttosto sicuro, sull'ultima non sono del tutto convinto...
Qualcuno mi darebbe conferme o smentite?
$\infty$ grazie a tutti!!!
-una successione \(\{x_n\}\) è convergente se e solo se ogni sottosuccessione è convergente;
-una funzione $f:X\to Y$ è continua se e solo se, per ogni successione \(\{x_n\}\) convergente al punto di accumulazione $x$ di $X$, vale \(\lim_{n}f(x_n)=f(x)\);
-\(\lim_{n}x_n=x\) se e solo se \(x\) è l'unico punto di accumulazione di \(\{x_n\}\).
Mentre della veridicità delle prime due mi sento piuttosto sicuro, sull'ultima non sono del tutto convinto...
Qualcuno mi darebbe conferme o smentite?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
La definizione di "punto di accumulazione" è un po' insidiosa e infatti è un concetto meno importante di altri (a dispetto dell'ingiustificatamente ampio uso negli esercizi di calcolo di limiti). Di solito un punto di accumulazione $x$ di un insieme $A$ in uno spazio topologico $X$ è un punto i cui intorni intersecano $A$ in punti distinti da $x$. Quindi ad esempio il punto $x$ non è di accumulazione per l'insieme $\{x\}$. Il che ci porta al controesempio alla 3 costituito dalle successioni costanti o definitivamente costanti, che sono convergenti pur non avendo punti di accumulazione.
Ci sono poi autori che aggirano la difficoltà dicendo che $x$ è un punto di accumulazione per $A$ se e solo se ogni intorno di $x$ interseca $A$, stop. Questa definizione è sicuramente più naturale e utile, e con questa definizione la 3 è vera.
Ci sono poi autori che aggirano la difficoltà dicendo che $x$ è un punto di accumulazione per $A$ se e solo se ogni intorno di $x$ interseca $A$, stop. Questa definizione è sicuramente più naturale e utile, e con questa definizione la 3 è vera.
Molto interessante: $\infty$ grazie!!!
Quanto alla generalizzazione ad un qualsiasi spazio topologico, non sarebbe valida nessuna delle tre affermazioni, vero?
Grazie di cuore ancora a te e a chi voglia intervenire!
Quanto alla generalizzazione ad un qualsiasi spazio topologico, non sarebbe valida nessuna delle tre affermazioni, vero?
Grazie di cuore ancora a te e a chi voglia intervenire!
Perdi solo la 2, perché esistono in generale funzioni continue per successioni ma non topologicamente continue.
Wow, risposta in tempo reale!
Edito per aggiungere una cosa: se per ogni $n\in\mathbb{N}$ si ha che $x_n\ne x$, in particolare (eventualmente rinominando opportunamente gli indici) per esempio se da un certo $n$ in avanti tutti gli $x_n$ sono distinti, ovviamente vale la terza, no?
Mi riferisco almeno al caso di successioni in spazi metrizzabili, perché in generale una successione di punti di uno spazio topologico potrebbe avere più di un limite e le cose direi che si complicherebbero.
Questa, come quelle di sopra, è della serie "tutto ciò che non avete mai osato chiedere", ma, visto che non trovo affermazioni esplicite del fatto, preferisco chiedere...
\(\{\)grazie!\(_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\)
Edito per aggiungere una cosa: se per ogni $n\in\mathbb{N}$ si ha che $x_n\ne x$, in particolare (eventualmente rinominando opportunamente gli indici) per esempio se da un certo $n$ in avanti tutti gli $x_n$ sono distinti, ovviamente vale la terza, no?
Mi riferisco almeno al caso di successioni in spazi metrizzabili, perché in generale una successione di punti di uno spazio topologico potrebbe avere più di un limite e le cose direi che si complicherebbero.
Questa, come quelle di sopra, è della serie "tutto ciò che non avete mai osato chiedere", ma, visto che non trovo affermazioni esplicite del fatto, preferisco chiedere...
\(\{\)grazie!\(_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\)
Nel caso del punto due hai che \(x\in X\), altrimenti \(f(x)\) non ha senso. Quindi è ben più forte di avere \(x\) come punto di accumulazione. Una condizione più corretta è che per ogni \(x\in \bar{X}\) (la chiusura di \(X\)) allora \(\lim f(x_n) = \lim f(y_n)\) per ogni coppia di successioni a valori in \(X\) il cui limite è \(x\). Ovviamente sono necessarie alcune condizioni topologiche affinché questo abbia senso, ma ora non ho tempo di ragionarci per bene.
Sul terzo penso che si possa dire che \(\lim x_n = x\) se e solo se \(\displaystyle \{x\} = \bigcap_m \overline{\bigcup_{n\ge m} \{x_n\} } \).
"dissonance":
Ci sono poi autori che aggirano la difficoltà dicendo che $x$ è un punto di accumulazione per $A$ se e solo se ogni intorno di $x$ interseca $A$, stop.
Cioè ribattezzano i punti di aderenza come punti di accumulazione?
"dissonance":
Questa definizione è sicuramente più naturale e utile, e con questa definizione la 3 è vera.
Non capisco. Con questa definizione hai che $A:=\{x_n:n\in NN\}\subseteq "Dr"(A)\ (=\bar{A})$, e la 3 diventa più falsa di prima
O mi son perso qualcosa?
Punto di aderenza, di accumulazione, di limite... Ci sono un sacco di termini in giro e tutti sono sfumature dello stesso concetto.
Sulla 3 mi sa che hai ragione. Ho paura che la "caratterizzazione" che avevo in mente becca solo le successioni costanti.
Sulla 3 mi sa che hai ragione. Ho paura che la "caratterizzazione" che avevo in mente becca solo le successioni costanti.
Grazie a tutti e tre, ragazzi!!!
Almeno limitatamente al caso in cui certamente $\forall n\in\mathbb{N}\quad x\ne x_n$, come accade, almeno da un certo $n$ in poi, nel caso di successioni di elementi distinti e limitatamente a spazi metrizzabili per cui il limite, se esiste, deve essere unico, vi sembra valido o no che \(\lim_{n}x_n=x\) se e solo se \(x\) è l'unico punto di accumulazione di \(\{x_n\}\)?
Mi sembra che Hilbert utilizzi qualcosa del genere nel quarto capitolo dei Grundlagen (in realtà un'appendice scritta da lui, ma inserita lì da Bernays) in un sacco di dimostrazioni in cui intervengono limiti... Grazie di cuore ancora a tutti!
Almeno limitatamente al caso in cui certamente $\forall n\in\mathbb{N}\quad x\ne x_n$, come accade, almeno da un certo $n$ in poi, nel caso di successioni di elementi distinti e limitatamente a spazi metrizzabili per cui il limite, se esiste, deve essere unico, vi sembra valido o no che \(\lim_{n}x_n=x\) se e solo se \(x\) è l'unico punto di accumulazione di \(\{x_n\}\)?
Mi sembra che Hilbert utilizzi qualcosa del genere nel quarto capitolo dei Grundlagen (in realtà un'appendice scritta da lui, ma inserita lì da Bernays) in un sacco di dimostrazioni in cui intervengono limiti... Grazie di cuore ancora a tutti!
Se la definizione di punto di accumulazione è la solita, dissonance ha già detto tutto: in generale no. Si può aggiungere che non vale se ${x_n}$ è finito.
Potrebbe funzionare per qualunque successione se chiamassimo punti di accumulazione i "punti limite", cioè quelli che sono limite di qualche estratta della successione di partenza.
EDIT: l'ultima affermazione è una boiata e vale solo - meglio: almeno - in $RR$ (il massimo e minimo limite esistono sono sempre e sono punti limite: se coincidono, la successione assegnata converge)
Basta pensare a $\{P_n\}_{n\ge 1}$ nel piano euclideo definita così:
\[P_n:=
\begin{cases}
(1/n,1/n) & \text{per}\ n\ \text{pari}\\
(0,n)& \text{per}\ n\ \text{dispari}
\end{cases}
\]
che ha l'origine come unico punto limite ma chiaramente non converge.
Potrebbe funzionare per qualunque successione se chiamassimo punti di accumulazione i "punti limite", cioè quelli che sono limite di qualche estratta della successione di partenza.
EDIT: l'ultima affermazione è una boiata e vale solo - meglio: almeno - in $RR$ (il massimo e minimo limite esistono sono sempre e sono punti limite: se coincidono, la successione assegnata converge)
Basta pensare a $\{P_n\}_{n\ge 1}$ nel piano euclideo definita così:\[P_n:=
\begin{cases}
(1/n,1/n) & \text{per}\ n\ \text{pari}\\
(0,n)& \text{per}\ n\ \text{dispari}
\end{cases}
\]
che ha l'origine come unico punto limite ma chiaramente non converge.
Prima di tutto ri-ringrazio tutti coloro che tanto gentilmente mi hanno risposto.
Volevo poi aggiungere una cosa: se \(\{x_n\}\) è una successione, almeno in uno spazio metrico o metrizzabile, non è sempre possibile considerarla unione di sottosuccessioni tutte convergenti, eventualmente a diversi limiti, direi: giusto?
Chiedo questo perché vedo che sistematicamente Hilbert, nel testo da me citato, dimostra la convergenza di successioni -direi di norma appartenente a sottospazi compatti, se fosse pertinente specificarlo- supponendo che \(x^{\ast}\) sia uno dei punti di accumulazione (che sto addirittura cominciando a sospettare che non avesse allora lo stesso significato di oggi...*) di \(\{x_n\}\) e dimostrando poi che tutti gli \(x^{\ast}\) devono coincidere.
$\infty$ grazie ancora!!!
*In effetti usa una volta il termine punto di condensazione che una nota del Bernays specifica che è ciò che oggi si suole indicare con punto di accumulazione. Chissà se non significhi semplicemente limite di una sottosuccessione...
Volevo poi aggiungere una cosa: se \(\{x_n\}\) è una successione, almeno in uno spazio metrico o metrizzabile, non è sempre possibile considerarla unione di sottosuccessioni tutte convergenti, eventualmente a diversi limiti, direi: giusto?
Chiedo questo perché vedo che sistematicamente Hilbert, nel testo da me citato, dimostra la convergenza di successioni -direi di norma appartenente a sottospazi compatti, se fosse pertinente specificarlo- supponendo che \(x^{\ast}\) sia uno dei punti di accumulazione (che sto addirittura cominciando a sospettare che non avesse allora lo stesso significato di oggi...*) di \(\{x_n\}\) e dimostrando poi che tutti gli \(x^{\ast}\) devono coincidere.
$\infty$ grazie ancora!!!
*In effetti usa una volta il termine punto di condensazione che una nota del Bernays specifica che è ciò che oggi si suole indicare con punto di accumulazione. Chissà se non significhi semplicemente limite di una sottosuccessione...
Si si puo' essere benissimo sia come dici alla fine, Davide. Credo che basti dare una scorsa ad una dimostrazione per rendersene conto. Ma comunque non ti fissare troppo, sono quisquilie terminologiche. Tieni anche presente che tu, essendo un matematico moderno, hai a disposizione una teoria della topologia molto meglio sviluppata di quello di Hilbert. In particolare, per te il lemmino seguente è ovvio:
Lemmino[\b]. Sia $X$ uno spazio topologico e $\mathbf{x}=\{x_n\}$ una successione di punti di $X$. Se ogni estratta di $\mathbf{x}$ contiene una estratta convergente al punto $x$ (NB: $x$ è lo stesso per tutte le estratte) allora la successione $\mathbf{x}$ tende a $x$.
La dimostrazione per assurdo è molto semplice, io proverei a farla per esercizio se già non la conosci.
Penso che con il lemmino tu possa facilmente chiudere il cerchio tutte le volte che Hilbert parla di punti di accumulazione.
Lemmino[\b]. Sia $X$ uno spazio topologico e $\mathbf{x}=\{x_n\}$ una successione di punti di $X$. Se ogni estratta di $\mathbf{x}$ contiene una estratta convergente al punto $x$ (NB: $x$ è lo stesso per tutte le estratte) allora la successione $\mathbf{x}$ tende a $x$.
La dimostrazione per assurdo è molto semplice, io proverei a farla per esercizio se già non la conosci.
Penso che con il lemmino tu possa facilmente chiudere il cerchio tutte le volte che Hilbert parla di punti di accumulazione.
Sinceramente trovo il concetto di punto di accumulazione un po’ inutile e preferisco lavorare con chiusura, interno e le operazioni insiemistiche. Nel caso delle successioni il problema è che i punti immagine hanno una molteplicità (data dalla cardinalità della controimmagine). Di fatto un punto è limite per un successione se la controimmagine di ogni suo intorno ha cardinalità numerabile (supponendo successioni numerabili).
Detto questo Hilbert suppone esplicitamente di lavorare in una geometria topologicamente molto buona. Per esempio immagino che tu possa supporre che valgano tutti gli assiomi di separazione e di numerabilità.
Detto questo Hilbert suppone esplicitamente di lavorare in una geometria topologicamente molto buona. Per esempio immagino che tu possa supporre che valgano tutti gli assiomi di separazione e di numerabilità.
"dissonance":Ehm, diciamo essendo un moderno (aggettivo sostantivato).
tu, essendo un matematico moderno hai a disposizione una teoria della topologia molto meglio sviluppata di quello di Hilbert
"dissonance":Direi che se esiste un intorno \(U\in\mathcal{N}(x)\) di $x$ che non contiene tutti gli elementi $\{x_N,x_{N+1},...\}$ neanche scegliendo $N$ arbitrariamente grande, significa che esiste una sottosuccessione di $\{x_n\}$, costruibile scegliendo un elemento $x_{n_k}\notin U$ di $\{x_N,x_{N+1},...\}$ per ogni $N$, che non converge ad $x$, il che è assurdo. Spero di non dire strafalcioni.
La dimostrazione per assurdo è molto semplice
"vict85":In effetti nei testi contemporanei sia di topologia che di analisi non ho mai visto una tale profusione dell'utilizzo di punti di accumulazione per dimostrare la convergenza di successioni.
Sinceramente trovo il concetto di punto di accumulazione un po’ inutile e preferisco lavorare con chiusura, interno e le operazioni insiemistiche.
"vict85":Certo, certo, si tratta di sottospazi topologici di $\mathbb{R}^2$ con la topologia euclidea.
Detto questo Hilbert suppone esplicitamente di lavorare in una geometria topologicamente molto buona. Per esempio immagino che tu possa supporre che valgano tutti gli assiomi di separazione e di numerabilità.
Grazie ancora di cuore a tutti!
Comunque pensandoci ho pensato uno spazio i cui punti di accumulazione sono i punti limite di una successione.
Considera lo spazio \((\mathbb{N}\cup\{\infty\})\times \mathbb{R}\) dove la topologia ‘chiusa’ su \(\displaystyle (\mathbb{N}\cup\{\infty\}) \) è definita dai sottoinsiemi chiusi di \(\mathbb{N}\) (oltre all'insieme stesso). Pensa alla topologia cofinita a cui ho aggiunto un punto ad ogni aperto (si può anche usare direttamente la topologia cofinita). Allora puoi notare che data una successione \(\displaystyle \{x_i\} \) a valori reali, i suoi punti di accumulazione sono i punti di accumulazione (all'infinito) di \(\displaystyle (i,x_i) \) in \((\mathbb{N}\cup\{\infty\})\times \mathbb{R}\). Nota che i punti all'infinito non appartengono alla nuvola di punti, quindi non ci sono certo problemi di definizioni.
Considera lo spazio \((\mathbb{N}\cup\{\infty\})\times \mathbb{R}\) dove la topologia ‘chiusa’ su \(\displaystyle (\mathbb{N}\cup\{\infty\}) \) è definita dai sottoinsiemi chiusi di \(\mathbb{N}\) (oltre all'insieme stesso). Pensa alla topologia cofinita a cui ho aggiunto un punto ad ogni aperto (si può anche usare direttamente la topologia cofinita). Allora puoi notare che data una successione \(\displaystyle \{x_i\} \) a valori reali, i suoi punti di accumulazione sono i punti di accumulazione (all'infinito) di \(\displaystyle (i,x_i) \) in \((\mathbb{N}\cup\{\infty\})\times \mathbb{R}\). Nota che i punti all'infinito non appartengono alla nuvola di punti, quindi non ci sono certo problemi di definizioni.
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