Domandine

[TheWiz@rd]

-se una funzione è continua in un intervallo [a,b] può essere illimitata?
io direi senza ombra di dubbio no,poichè se deve essere illimitata in un punto, in quel punto deve essere discontinua.

-se una funzione è continua in R, può essere illimitata?
idem, come prima.

aspetto una conferma e spero di non aver detto delle castronerie.


TheWiz@rd

[fireball1]

Non capisco bene la risposta che hai dato alla seconda domanda...
Se la funzione è continua in tutto R, potrebbe essere anche illimitata.
Prendi per esempio y = x^3 ...

[fireball1]

quote:

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Originally posted by TheWiz@rd

-se una funzione è continua in un intervallo [a,b] può essere illimitata?
io direi senza ombra di dubbio no,poichè se deve essere illimitata in un punto, in quel punto deve essere discontinua.

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Il testo dell'esercizio però non dice "illimitata in un punto"
ma dice semplicemente "se una funzione è continua in un intervallo
[a,b] può essere illimitata?" ...

[Marco831]

La risposta alla prima domanda è giusta... la seconda direi proprio di no.
Basta prendere l'esempio portato da fireball per rendersene conto.
Tanto per fare uso di un po di teoria al posto dell'intuito..
Teorema di Weierstrass:una funzione continua su un compattoammette massimo e minimo assoluti.
Nel primo caso (funzione continua su [a;b]) il dominio è un compatto.
Nel secondo caso il dominio è un insieme aperto, quindi non è compatto, pertanto non è detto che valga il risultato del teorema.
Questo non implica che non vi siano funzioni limitate se il dominio non è un compatto (vedi 1/x su (1:+inf)), ma soltanto che vi sono anche delle funzioni che non sono limitate su un insieme non compatto.

[fireball1]

Comunque la prima domanda mi sembra un po' troppo "generica"...