Domandina teorica infiniti e infinitesimi
ciao ragazzi, una questioncina veloce:
Quando ho un limite per x che tende a zero, o posso cmq adoperare sostituzioni per ottenere che la variabile ind vada a 0, se ho forme indeterminate tipo 0/0 o inf/inf posso adoperare 4 metodi risolutivi: l'hopital, taylor, eventuali limiti notevoli o il Principio di Sostituzione ( ovvero elimino i termini infinitesimi maggiori per 0/0 o infiniti inferiori per inf/inf)
Quando un limite tende necessariamente a infinito, sia che abbia inf/inf o 0/0 posso usare esclusivamente l'hopital, limiti notevoli e il PdS o ci sono altri metodi?
Un grazie anticipato a chi mi toglierà il dubbio
Ps Per gli integrali impropri, se mi trovo nel secondo caso, per trovare una funzione asintotica facilmente integrabile per fare un paragone con l'integranda, uso il PdS o ci sono altri metodi?
Quando ho un limite per x che tende a zero, o posso cmq adoperare sostituzioni per ottenere che la variabile ind vada a 0, se ho forme indeterminate tipo 0/0 o inf/inf posso adoperare 4 metodi risolutivi: l'hopital, taylor, eventuali limiti notevoli o il Principio di Sostituzione ( ovvero elimino i termini infinitesimi maggiori per 0/0 o infiniti inferiori per inf/inf)
Quando un limite tende necessariamente a infinito, sia che abbia inf/inf o 0/0 posso usare esclusivamente l'hopital, limiti notevoli e il PdS o ci sono altri metodi?
Un grazie anticipato a chi mi toglierà il dubbio
Ps Per gli integrali impropri, se mi trovo nel secondo caso, per trovare una funzione asintotica facilmente integrabile per fare un paragone con l'integranda, uso il PdS o ci sono altri metodi?
Risposte
"Jengis1":
ciao ragazzi, una questioncina veloce:
Forse anche un po' troppo veloce, visto che non ci si capisce niente. Riscrivila.
caso 1) $\lim_{x \to \a}f(x)$ con a numero finito; se ho una forma indeterminata del tipo $infty/infty$ o $0/0$ per risolverla posso:
1.0) nel caso più banale, risolvere aritmeticamente il limite, cioè con qualche semplificazione
1.1) usare l'hopital
1.2) usare eventuali limiti notevoli
1.3.1) usare taylor nel caso in cui a=0, ovvero ho $\lim_{x \to \0}f(x)$
1.3.2) usare taylor nel caso in cui, con opportuno cambiamento di variabile, posso trasformare $\lim_{x \to \a}f(x)$
in $\lim_{t \to \0}f(t)$
1.4) applicare il PdS, ovvero : per $infty/infty$ elimino dalla funzione gli infiniti di ordine inferiore - per $0/0$ elimino gli infinitesimi di ordine superiore ---> es rapido $lim_(x->0)(sin(x)-x^2)/x$ ---> x^2 è un infinitesimo superiore a sin(x), quindi per il calcolo del limite è ininfluente; il limite diventa quindi $lim_(x->0)(sin(x))/x = 1$
caso 2) $\lim_{x \to \infty}f(x)$ e ho una forma indeterminata del tipo $infty/infty$ o $0/0$ per risolverla posso:
2.0) come 1.0
2.1) come 1.1
2.2) come 1.2
2.3) come 1.4
volevo sapere se questi metodi sono corretti e gli unici utilizzabili, mi scuso per prima e spero di essere stato esauriente questa volta.
1.0) nel caso più banale, risolvere aritmeticamente il limite, cioè con qualche semplificazione
1.1) usare l'hopital
1.2) usare eventuali limiti notevoli
1.3.1) usare taylor nel caso in cui a=0, ovvero ho $\lim_{x \to \0}f(x)$
1.3.2) usare taylor nel caso in cui, con opportuno cambiamento di variabile, posso trasformare $\lim_{x \to \a}f(x)$
in $\lim_{t \to \0}f(t)$
1.4) applicare il PdS, ovvero : per $infty/infty$ elimino dalla funzione gli infiniti di ordine inferiore - per $0/0$ elimino gli infinitesimi di ordine superiore ---> es rapido $lim_(x->0)(sin(x)-x^2)/x$ ---> x^2 è un infinitesimo superiore a sin(x), quindi per il calcolo del limite è ininfluente; il limite diventa quindi $lim_(x->0)(sin(x))/x = 1$
caso 2) $\lim_{x \to \infty}f(x)$ e ho una forma indeterminata del tipo $infty/infty$ o $0/0$ per risolverla posso:
2.0) come 1.0
2.1) come 1.1
2.2) come 1.2
2.3) come 1.4
volevo sapere se questi metodi sono corretti e gli unici utilizzabili, mi scuso per prima e spero di essere stato esauriente questa volta.
Beh si, sono questi. Dando ovviamente per scontato che ti ci sai sempre ricondurre. Per esempio, come fai $\lim_{x\to0^+}x\ln(x)$? E come fai $\lim_{x\to0^+}x^x$?
bè questi son semplici 
si fanno tutti e 2 con lagrange
1) Apparte il fatto che penso d'aver capito che il logaritmo non regge in nessun caso il confronto con la x ovvero a priori potrei dirti che va a 0, svolgendo i calcoli: $\lim_{x \to \0^+}xlogx$ = $\lim_{x \to \0^+}logx/(1/x)$ = lagrange = $\lim_{x \to \0^+}-x^2/x$ = $0$
2)$\lim_{x \to \0^+}x^x$ = $\lim_{x \to \0^+}e^(xlogx)$ = ragiono come prima = $e^0$ = $1$
avresti da propormi qualcosa di più complesso, che magari mi posso ritrovare nell'esame di analisi, magari qualche integrale improprio? poi ti posto la soluzione
Mi faresti un favore enorme, sono in paranoia pesante..
si fanno tutti e 2 con lagrange1) Apparte il fatto che penso d'aver capito che il logaritmo non regge in nessun caso il confronto con la x ovvero a priori potrei dirti che va a 0, svolgendo i calcoli: $\lim_{x \to \0^+}xlogx$ = $\lim_{x \to \0^+}logx/(1/x)$ = lagrange = $\lim_{x \to \0^+}-x^2/x$ = $0$
2)$\lim_{x \to \0^+}x^x$ = $\lim_{x \to \0^+}e^(xlogx)$ = ragiono come prima = $e^0$ = $1$
avresti da propormi qualcosa di più complesso, che magari mi posso ritrovare nell'esame di analisi, magari qualche integrale improprio? poi ti posto la soluzione
Mi faresti un favore enorme, sono in paranoia pesante..
mmm mi fa piacere la tua voglia di fare esercizi, ma capisci che non posso inventarmeli su due piedi (quanto tempo perderei fra inventarli e poi scriverli). Basta che googli "esercizi su limiti" o "compito scritto analisi ingegneria", cose del genere e trovi un miliardo di cose senza spendere una lira.
"Valerio Capraro":
mmm mi fa piacere la tua voglia di fare esercizi...
Zitto zitto, mi sta andando in pappa il cervello
devo pure iniziare a esercitarmi sulle f a 2 o più variabili..Cmq hai ragione, male male posto quelli che non mi tornano..
Ciao grz di tutto
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