Domandina sulle serie

[hitenat931]

Salve mentre mi esercitavo sulle serie, mi è capitato di dover fare un'operazione che non mi è molto chiara, piu che altro non riesco a digerirla.
Dopo aver usato il criterio di leibnitz ed aver "smontato" la serie utilizzando il metodo dei fratti semplici in altre 2 serie di grado ridotto, la prima serie sono riuscita a ricondurla alla serie di taylor del logaritmo,mentre nella seconda mi sono bloccato:

$ sum_(n =1\ldots)(-1)^(n+1) 1/(n+1) $ , il libro ora mi consiglia di cambiare l'indice della serie da 1 a 2 in modo da farla $ -sum_(n =2\ldots)(-1)^(n+1) 1/n $ e cosi ottenere $ (-sum_(n =1\ldots)(-1)^(n+1) 1/n) +1 $ .Diciamo che mi sono perso qui verso la fine. La mia domanda e se qualcuno puoi spiegarmi come funziona l'aggiustamento dell'indice delle serie e come funziona il fatto di aggiungere o sottrarre il termine n-esimo da cui si vuole far partire la serie

[55sarah]

"hitenat93":Salve mentre mi esercitavo sulle serie, mi è capitato di dover fare un'operazione che non mi è molto chiara, piu che altro non riesco a digerirla.
Dopo aver usato il criterio di leibnitz ed aver "smontato" la serie utilizzando il metodo dei fratti semplici in altre 2 serie di grado ridotto, la prima serie sono riuscita a ricondurla alla serie di taylor del logaritmo,mentre nella seconda mi sono bloccato:

$ sum_(n =1\ldots)(-1)^(n+1) 1/(n+1) $ , il libro ora mi consiglia di cambiare l'indice della serie da 1 a 2 in modo da farla $ -sum_(n =2\ldots)(-1)^(n+1) 1/n $ e cosi ottenere $ (-sum_(n =1\ldots)(-1)^(n+1) 1/n) +1 $ .Diciamo che mi sono perso qui verso la fine. La mia domanda e se qualcuno puoi spiegarmi come funziona l'aggiustamento dell'indice delle serie e come funziona il fatto di aggiungere o sottrarre il termine n-esimo da cui si vuole far partire la serie

tu hai questa serie $ \sum_(n=1)^(+\infty) (-1)^(n+1) (1)/(n+1) $

giustamente ti suggerisce (per semplicità) la sostituzione..

poni per esempio $ k=n+1\to (n=1)\to k=2 $

ora $k=2$ (La serie parte dal numero 2, tranquillo NON ne altera il carattere)

quindi hai la nuova serie $ \sum_(k=2)^(+\infty) (-1)^(k) (1)/(k) $

l'indice è muto quindi puoi tornare se vuoi in $n$

$ \sum_(n=2)^(+\infty) (-1)^(n) (1)/(n) $

ora applichi la classica regola di Leibniz

spero ti sia chiaro