Domandina sul criterio della radice.

[Swalke]

Sto studiando i vari criteri di convergenza per le serie a termini positivi e nel criterio della radice non riesco a capire una cosa.

prima mi dice:
data la serie da 1 a infinito di (an)
la serie diverge se:
radice_ennesima(an)<1
converge se:
radice_ennesima(an)>=1

Poi mi dice che si può anche usare il limite nel seguente modo:
la serie converge se:
lim(radice_ennesima(an))<1
la serie diverge se:
lim(radice_ennesima(an))>1
se il limite è 1 non si può dire nulla.

Quello che non capisco è proprio quest’ultima riga. Perchè se il limite è 1 non si può dire nulla?
Ma soprattutto: perchè nella prima definizione anche radice_ennesima (an)=1 mi determina la divergenza mentre nella seconda lim(radice_ennesima(an))=1 non mi dice nulla?

[Piera4]

è un fatto legato alla dimostrazione del criterio
se il limite è 1 non è possibile dimostrare la convergenza o divergenza della serie

nella seconda domanda hai invertito le disuguaglianze
data la serie da 1 a infinito di (an)
la serie diverge se:
radice_ennesima(an) >=1
converge se:
radice_ennesima(an)< 1
adesso, a differenza del limite, è possibile dimostrare la divergenza
quando radice_ennesima (an)=1

sono tutte questioni legate alla dimostrazione di questi criteri