Domandina su Trasformata Fourier
Piccolo quesito.
Sto studiando le proprietà notevoli per le funzioni trasformate.
Se ho una funzione $ H(T) $ e un'altra funzione $ H(T-a) e^t $ qual'è il rapporto tra le due trasformate?
Sò dalla teroria che la trasformata di $ H(T)e^2piiat $ trasformato è la trasformata $ H(T-a) $ .
Se non ho però la i come esponente qual'è la regola quindi ? grazie.
Sto studiando le proprietà notevoli per le funzioni trasformate.
Se ho una funzione $ H(T) $ e un'altra funzione $ H(T-a) e^t $ qual'è il rapporto tra le due trasformate?
Sò dalla teroria che la trasformata di $ H(T)e^2piiat $ trasformato è la trasformata $ H(T-a) $ .
Se non ho però la i come esponente qual'è la regola quindi ? grazie.
Risposte
Chi è [tex]$H(t)$[/tex]? Il gradino unitario?
"gugo82":No no .. è una funzione qualunque..
Chi è [tex]$H(t)$[/tex]? Il gradino unitario?
Scusa se ti chiedo ancora chiarimenti, ma non capisco bene la notazione; insomma, [tex]$T$[/tex] è la variabile "prima della trasformata" e [tex]$t$[/tex] quella "dopo la trasformata"?
In tal caso, in [tex]$H(T-a)e^{t}$[/tex] intendi che il valore di [tex]$t$[/tex] all'esponente è un valore [tex]$t_0$[/tex] fissato? (Perchè mica posso avere due variabili nella stessa espressione...)
In tal caso, in [tex]$H(T-a)e^{t}$[/tex] intendi che il valore di [tex]$t$[/tex] all'esponente è un valore [tex]$t_0$[/tex] fissato? (Perchè mica posso avere due variabili nella stessa espressione...)
"gugo82":
Scusa se ti chiedo ancora chiarimenti, ma non capisco bene la notazione; insomma, [tex]$T$[/tex] è la variabile "prima della trasformata" e [tex]$t$[/tex] quella "dopo la trasformata"?
In tal caso, in [tex]$H(T-a)e^{t}$[/tex] intendi che il valore di [tex]$t$[/tex] all'esponente è un valore [tex]$t_0$[/tex] fissato? (Perchè mica posso avere due variabili nella stessa espressione...)
No. Provo a rispiegarmi.
Ho una funzione qualunque $g(t)$ che trasformata diventa $g(f)$.
Ho un'altra funzione$ g(t-a)*e^t$ .. quale sarà la sua trasformata? sapendo che ho appena calcolato la trasformata di $g(f)$? moltiplicare per $e^t$ non equivale a ritardare la mia funzione? grazie ancora
no, infatti se applichi la definizione hai
$\mathcal{F}[e^t * g(t-a)](f) = \int_RR g(t -a) e^((1-i2\pi f)t) dt$, moltiplicare per un esponenziale reale non ti porta ad una traslazione della variabile $f$.
Per avere la traslazione della variabile $f$, devi moltiplicare per $e^{i2\pi f_0 t}$, infatti
$\mathcal{F}[e^{i2\pi f_0 t} * g(t)](f) = \int_RR g(t) e^{-i2\pi(f-f_0)t} dt = G(f-f_0)$
Inoltre volendo essere formali, $\mathcal{F}[e^t g(t)](f) = \int_RR g(t) e^t e^{-i2\pi f t} dt$, a meno che $g$ non sia a supporto compatto, o abbia una struttura particolare tale da compensare la crescita esponenziale di $e^t$ rendendola al più polinomiale, non è trasformabile nemmeno in senso generalizzato intendendo la trasformata di fourier per distribuzioni temperate.
$\mathcal{F}[e^t * g(t-a)](f) = \int_RR g(t -a) e^((1-i2\pi f)t) dt$, moltiplicare per un esponenziale reale non ti porta ad una traslazione della variabile $f$.
Per avere la traslazione della variabile $f$, devi moltiplicare per $e^{i2\pi f_0 t}$, infatti
$\mathcal{F}[e^{i2\pi f_0 t} * g(t)](f) = \int_RR g(t) e^{-i2\pi(f-f_0)t} dt = G(f-f_0)$
Inoltre volendo essere formali, $\mathcal{F}[e^t g(t)](f) = \int_RR g(t) e^t e^{-i2\pi f t} dt$, a meno che $g$ non sia a supporto compatto, o abbia una struttura particolare tale da compensare la crescita esponenziale di $e^t$ rendendola al più polinomiale, non è trasformabile nemmeno in senso generalizzato intendendo la trasformata di fourier per distribuzioni temperate.
Ultima cosa.
Se $H(t)$ è la funzione che vale 1 per$ t>0$ qual'è la trasformata notevole associata ad H? e qual'è quella della funzione triangolo? (cioè $1-|x|$) ($△(t)$)
(devo calcolare delle trasformate del tipo $H(t-3) - H(t-4)$ oppure $H1/2 (t + 1) + 2H1/2 (t + 1/2) + H1/2 (t) + 2H1/2(t-1/2)$($1/2$ dopo l'H vuol dire la funzione H fra 1 e 2)) e se ci fosse una regola generale per la funzione $H $sarebbe molto più veloce che usare la formula tutte le volte)
Se $H(t)$ è la funzione che vale 1 per$ t>0$ qual'è la trasformata notevole associata ad H? e qual'è quella della funzione triangolo? (cioè $1-|x|$) ($△(t)$)
(devo calcolare delle trasformate del tipo $H(t-3) - H(t-4)$ oppure $H1/2 (t + 1) + 2H1/2 (t + 1/2) + H1/2 (t) + 2H1/2(t-1/2)$($1/2$ dopo l'H vuol dire la funzione H fra 1 e 2)) e se ci fosse una regola generale per la funzione $H $sarebbe molto più veloce che usare la formula tutte le volte)
intendendo per $H(t)$ il gradino, questa ammette trasformata nel senso delle distribuzioni, ed è pari a $1/(i2\pi f) + 1/2 \delta (f)$
per quanto riguarda la funzione triangolo, questa ammette trasformata classica (infatti è una funzione $L^1(RR)$) e la sua trasformata è $sinc^2(f) = ((\sin(\pi f))/(\pi f))^2$.
Quest'ultima la potevi benissimo calcolare mediante la definizione, la prima anch'essa calcolabile a patto di conoscere la teoria delle distribuzioni e l'estensione della trasformata di fourier alle distribuzioni temperate.
per quanto riguarda la funzione triangolo, questa ammette trasformata classica (infatti è una funzione $L^1(RR)$) e la sua trasformata è $sinc^2(f) = ((\sin(\pi f))/(\pi f))^2$.
Quest'ultima la potevi benissimo calcolare mediante la definizione, la prima anch'essa calcolabile a patto di conoscere la teoria delle distribuzioni e l'estensione della trasformata di fourier alle distribuzioni temperate.
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