Domandina
Sia $f\inL^p$. Esiste una funzione continua q.o. nella stessa classe rappresentata da $f$?
Risposte
Mi viene in mente solo il Teorema di Lusin in proposito; se $f$ è misurabile, per ogni $\epsilon>0$ esiste una funzione $g$ continua che è diversa da $f$ su un insieme di misura minore di $\epsilon$. Dici che si può fare di meglio?
forse rinunciando alla continuità su tutto l'insieme si può fare di meglio... o almeno mi pare abbastanza intuitivo... (?!)
Un risultato più fine, che non so se conosci, riguarda l'approssimata continuità vera per le funzioni $L^1loc$: quasi ogni punto è di Lebesgue per una funzione $L^1loc$, ovvero le funzioni $L^1loc$ sono approssimativamente continue quasi ogni punto del loro dominio.
Basta poi sapere che tutti gli $L^p$ stanno in $L^1loc$.
Basta poi sapere che tutti gli $L^p$ stanno in $L^1loc$.
non ho capito...
cosa intendi per "punto di Lebesgue" e per "approssimativamente continue"?
cosa intendi per "punto di Lebesgue" e per "approssimativamente continue"?
comunque, per farla breve... il prof ci ha dato un esercizio difficile (l'ha detto lui) che consiste
nel dim che se $f\in L^1loc(RR^n)$ e $f_{\varepsilon}$ è la regolarizzata per convoluzione, allora $f_{\varepsilon}->f$ quasi ovunque.
Io avevo pensato di procedere cosi... però ho dei buchi..
1) mostrare che al posto di $f$ posso prendere una funzione continua q.o. nella stessa classe di equivalenza, chiamo $g$ questa fantomatica funzione
2) mostrare che $f_{\varepsilon}$ tende a $g$ quasi ovunque (credo che questa sia facile)
3) mettere insieme 1) e 2) per ottenere la tesi
nel dim che se $f\in L^1loc(RR^n)$ e $f_{\varepsilon}$ è la regolarizzata per convoluzione, allora $f_{\varepsilon}->f$ quasi ovunque.
Io avevo pensato di procedere cosi... però ho dei buchi..
1) mostrare che al posto di $f$ posso prendere una funzione continua q.o. nella stessa classe di equivalenza, chiamo $g$ questa fantomatica funzione
2) mostrare che $f_{\varepsilon}$ tende a $g$ quasi ovunque (credo che questa sia facile)
3) mettere insieme 1) e 2) per ottenere la tesi
Non vedo la semplificazione nel supporre $f$ continua quasi ovunque. Io ho in mente la teoria generale della regolarizzazione per convoluzione in cui si dimostra che hai la convergenza in $L^p$ della regolarizzata, quindi la convergenza puntuale quasi ovunque.
Quanto a ciò che dicevo prima, anche se non ti serve sicuramente, $x$ è punto di Lebesgue per $f$ se esiste ed è finito $\lim_(r \to 0) 1/(|B_r(x)|)\int_(B_r(x)) f(\xi)d\xi$. In tal caso si dice anche che $f$ è approssimativamente continua in $x$ (vale il teorema della media integrale sostanzialmente; tutto ciò è il punto di partenza della Teoria astratta della misura applicata alla teoria delle funzioni).
Quanto a ciò che dicevo prima, anche se non ti serve sicuramente, $x$ è punto di Lebesgue per $f$ se esiste ed è finito $\lim_(r \to 0) 1/(|B_r(x)|)\int_(B_r(x)) f(\xi)d\xi$. In tal caso si dice anche che $f$ è approssimativamente continua in $x$ (vale il teorema della media integrale sostanzialmente; tutto ciò è il punto di partenza della Teoria astratta della misura applicata alla teoria delle funzioni).
pensavo si semplificasse... forse mi sbaglio...
comunque tu dici che se c'è convergenza in $L^p$ allora c'è convergenza puntuale q.o.
ma è proprio quello che devo dim...
comunque tu dici che se c'è convergenza in $L^p$ allora c'è convergenza puntuale q.o.
ma è proprio quello che devo dim...
Che la convergenza $L^p$ implica la puntuale q.o. (a meno di estratte) è un fatto noto, non è facile da dimostrare ma è classico. Credo che lo trovi un po' dappertutto.
io ho trovato l'esistenza di una estratta.. più di questo, almeno sul libretto di analisi reale che ho, non ho trovato
Sì, è quello.
Per ammissione dello stesso P. per passare da un'estratta a tutta la successione trattasi di teoria della misura fine... ci devo ancora pensare.
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