Domande urgenti

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Domande urgenti

Sia f(x,y) una funzione derivabile in P(x,y). Si può affermare che f(x,y) è continua in (x,y) ? Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti. Fornire un esempio con P(0,0)

Sia M(1,2) un punto di massimo f(x,y). Si può affermare che la funzione f(x,y) è derivabile in (1,2) e le sue derivate parziali si annullano in (1,2) ? Fornire un esempio

Sia f(x,y) una funzione derivabile in R^2 tale che le sue derivate parziali del primo ordine siano continue in P(x0,y0). Si può affermare che fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0). Fornire un esempio

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Sia M(1,2) un punto di massimo f(x,y). Si può affermare che la funzione f(x,y) è derivabile in (1,2) e le sue derivate parziali si annullano in (1,2) ? Fornire un esempio

Considera la funzione $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}: (x,y) \to -(|x-1| + |y-2|)$. Ovviamente $f$ ha il suo massimo assoluto in $(1,2)$. Eppure non è derivabile nel punto.

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"parallel":
Sia f(x,y) una funzione derivabile in P(x,y). Si può affermare che f(x,y) è continua in (x,y) ? Motivare la risposta con argomentazioni fondate e convincenti. Fornire un esempio con P(0,0).

Sia $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tale che $f(0,0) := 0$ ed $f(x,y) := \frac{xy}{x^2 + y^2}$, se $(x,y) \ne (0,0)$. Chiaramente $f$ non è continua in $(0,0)$, siccome $f(0,0) \ne \lim_{x \to 0} f(x,x)$. Pur tuttavia $f$ è derivabile nello stesso punto. Basta osservare che $f(x,y) = f(y,x)$, per ogni $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, e che $\exists \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = 0$.

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"parallel":
Sia f(x,y) una funzione derivabile in R^2 tale che le sue derivate parziali del primo ordine siano continue in P(x0,y0). Si può affermare che fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0). Fornire un esempio

In verità le ipotesi indicate non sono neppure sufficienti a garantire l'esistenza delle derivate parziali seconde miste: è giusto il caso della funzione $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}: (x,y) \to x \cdot |x| + y \cdot |y|$ con riferimento al punto $(0,0)$.